Question

1) resolva em lR as equações:

a) |x|=1-√3
b) |-x|=5
c) |2x|=2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Estudosa, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Temos as seguintes equações modulares:

a)  |x| = 1 - √3 --- vamos aplicar as condições de existência para funções modulares. Assim, teremos:

a.1) Para x ≥ 0, teremos:

x = 1 - √(3) ---- Note isto: √(3) = 1,73 (aproximadamente). Então iríamos ter isto:

x = 1 - 1,73
x = - 0,73 ---- Note que isto é impossível de ocorrer, pois a hipótese era para x ≥ 0 e não menor do que zero. Logo este valor não é válido para "x".

a.2) Para x < 0, iremos ter:

- x = 1 - √(3) --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
x = - 1 + √(3) --- ou, o que é a mesma coisa:
x = √(3) - 1 ---- como √(3) = 1,73 (aproximadamente), iríamos ter:
x = 1,73 - 1
x = 0,73 --- Veja que deu um resultado positivo. E a hipótese era para x < 0. Logo, este valor para "x" também é impossível.

Dessa forma, segue-se que a questão do item "a" não tem resposta no âmbito dos Reais, pelo que a resposta será o conjunto vazio, ou seja:

S = ∅ , ou S = { } <--- Esta é a resposta para o item "a".

A propósito, note isto e NUNCA mais esqueça: quando temos o módulo de "x" (sozinho) sendo igual a um número negativo, você já poderá afirmar, SEM QUALQUER DÚVIDA, que a resposta nos Reais será o conjunto vazio, pois JAMAIS poderá, por exemplo, ocorrer isto: |x| = - 5. Ora, se o "x" está sozinho dentro do módulo, então por mais negativo que ele viesse a ser, o resultado seria SEMPRE positivo e NUNCA negativo. Mas preferimos fazer pelas condições de existência apenas pra você ver como chegaríamos ao mesmo resultado vazio. OK?

b) |-x| = 5 ---- aplicando-se as condições de existência de funções modulares, teremos:

b.1) Para (-x) ≥ 0, iremos ter:

-x = 5 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
x = - 5 ---- Este é um valor válido para "x", pois fizemos para a hipótese de (-x) ser maior ou igual a zero. E quando colocamos o sinal de menos antes do (-5) iremos ter uma resposta válida, pois  -(-5) = 5.

b.2) Para (-x) < 0, iremos ter:

- (-x) = 5 ------ desenvolvendo, teremos:
x = 5 --- Este é outro valor válido para "x", pois a hipótese era para (-x) < 0, e ao colocarmos o sinal de menos antes teremos sito: -(-5) = 5, o que é válido.

Assim, a resposta para o item "b" será:

x = -5, ou x = 5 <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {-5; 5}.

c) |2x| = 2 ---- aplicando-se as condições de existência para funções modulares, iremos ter:

c.1) Para (2x) ≥ 0, teremos:

2x = 2
x = 2/2
x = 1 <--- Este é um valor válido para "x".

c.2) Para (2x) < 0, remos ter:

- 2x = 2 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2x = - 2
x = -2/2
x = - 1 <--- Este também é um valor válido para "x".

Assim, a resposta para este item será:

x = - 1, ou x = 1 <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

Se quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = {-1; 1}.

É isso ai.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.