Question

1 - resolva as equações

(n-2)! / (n-1) = 1 / 5

(n+1)!+n! / (n+2)! = 1 / 28

n! = 2^4.3^4.5^2.7


2 - com os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 e 9 quantos números naturais:

a) pares de quatro algarismos podem ser formados?

b) pares de quatro algarismos distintos podem ser formados?


3 - doze equipes de voleibol disputam um campeonato. de quantas maneiras diferentes pode ocorrer a classificação dos três primeiros colocados, se não pode haver empate em nenhuma das colocações?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luan, que você colocou muitas questões numa só mensagem. Então faremos o seguinte: iremos responder apenas as questões encolvendo fatoriais. As restantes você as coloca em outras mensagens, de preferência uma questão por mensagem, ok?

i) Vamos resolver as questões que envolvem fatoriais. Temos as seguintes expressões:

i.a)

(n-2)! / (n-1)! = 1/5 ---- no denominador, desenvolveremos (n-1)! até (n-2)!. Fazendo isso, teremos:

[(n-2)!]/[(n-1)*(n-2)!] = 1/5 ---- simplificando-se (n-2)! do numerador com (n-2)! do denominador, iremos ficar apenas com:

1/(n-1)  = 1/5 ----- multiplicando-se em cruz, teremos;

5*1 = (n-1)*1 ----- efetuando o produto indicado nos 2 membros, temos:

5 = n - 1 ----- passando "-1" para o 1º membro, temos:

5+1 = n

6 = n --- ou, invertendo-se:

n = 6 <--- Esta é a resposta para o item "a".

i.b)

[(n+1)! + n!]/(n+2)! = 1/28 ---- veja: no numerador vamos desenvolver (n+1)! até n!; e, no denominador, vamos desenvolver (n+2)! também até n!. Fazendo isso, iremos ter:

[(n+1)*n! + n!]/[(n+2)*(n+1)*n!] = 1/28 ----- no numerador, vamos colocar n! em evidência, com o que ficaremos assim:

[n!*(n+1) + 1] / [(n+2)*(n+1)*n!] = 1/28 ------ simplificando-se n! do numerador com n! do denominador, iremos ficar apenas com:

[(n+1) + 1] / [(n+2)*(n+1)] = 1/28 ---- retirando-se os parênteses que estão no numerador, iremos ficar assim:

[n+1 + 1] / [(n+2)*(n+1)] = 1/28 ---- desenvolvendo o numerador, ficamos;

(n+2) / [(n+2)*(n+1) = 1/28 ---- simplificando-se (n+2) do numerador com (n+2) do denominador, iremos ficar apenas com:

1 / (n+1) = 1/28 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;

28*1 = (n+1)*1 ---- efetuando esses produtos, teremos;

28 = n + 1 ---- passando "1" para o 1º membro, temos;

28 - 1 = n

27 = n --- ou, invertendo-se, temos:

n = 27 <--- Esta é a resposta para o item "b".

i.c)

n! = 2⁸ * 3⁴ * 5² * 7 ----- desenvolvendo, temos:

n! = 256 * 81 * 25 * 7 ---- desenvolvendo este produto, temos:

n! = 3.628.800 ---- agora veja isto: o fatorial de "10" é igual a "3.628.800", pois note que 10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3.628.800. Logo, temos que:

n = 10 <--- Esta é a resposta para o item "c".

Veja que apenas com as questões que envolvem fatorial gastamos todo este espaço. Você imagina se fôssemos resolver as demais: o espaço não seria suficiente para "caber" tanto desenvolvimento. Assim, as demais questões você as coloca em outras mensagens, de preferência uma questão por mensagem,ok?

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.