Question

1- Resolva as equações logarítmicas:

A) log2 9 – log2 (3x + 2) = 2 CE=x>-2/3
B) log 5x – log 2 = log (2x - 3) CE=x>3/2

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Answer 1

Respostas:  (a) x=1/12  e  (b) Não há soluções Reais.

Para resolver as equações, vamos utilizar propriedades de logaritmos.

a)

$log_{_2}9~-~log_{_2}(3x+2)~=~2$

Utilizando a propriedade do logaritmo do quociente:

$log_{_2}\left(\dfrac{9}{3x+2}\right)~=~2$

Aplicando a definição de logaritmo:

$\dfrac{9}{3x+2}~=~2^2\\\\\\\dfrac{9}{3x+2}~=~4\\\\\\9~=~4\cdot(3x+2)\\\\\\9~=~12x+8\\\\\\12x~=~9-8\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{1}{12}}$

A solução encontrada respeita a condição de existência x>-2/3, ou seja, logaritmando positivo.

b)

$log\,5x~-~log\,2~=~log\,(2x-3)$

Utilizando a propriedade do logaritmo do quociente:

$log\,\left(\dfrac{5x}{2}\right)~=~log\,(2x-3)$

Como os logaritmos, nos dois membros da equação, tem mesma base (10), para que sejam iguais, seus logaritmandos devem ser iguais, logo:

$lo\!\!\backslash g\,\left(\dfrac{5x}{2}\right)~=~lo\!\!\backslash g\,(2x-3)\\\\\\\dfrac{5x}{2}~=~2x-3\\\\\\5x~=~2\cdot(2x-3)\\\\\\5x~=~4x-6\\\\\\5x-4x~=\,-6\\\\\\\boxed{x~=\,-6}$

A solução encontrada não respeita a condição de existência x>3/2 (logaritmando positivo) e, portanto, a equação logarítmica não tem solução Real.