Question

1.Quantos elementos tem a 10ª linha do Triângulo de Pascal? Qual é a soma desses elementos? *



a) 10 elementos e a soma deles é 1048.

b) 11 elementos e a soma deles é 2048.

c) 10 elementos e a soma deles é 2024.

d) 11 elementos e a soma deles é 1024.

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Answer 1

Vamos fazer da maneira mais rebuscada, para que possamos entender desde o começo.

• Primeiro vamos desenhar os elementos do triângulo de Pascal até a linha 10.

$\sf 0 \rightarrow 1 = 2 {}^{0} \\ \sf 1 \rightarrow 1 \: \: 1 = 2 {}^{1} \\ \sf2 \rightarrow1 \: \: 2 \: \: 1 = 2 {}^{2} \\ \sf 3 \rightarrow 1 \: \: 3 \: \: 3 \: \: 1 = 2 {}^{3} \\ \sf 4 \rightarrow 1 \: \: 4 \: \: 6 \: \: 4 \: \: 1 = 2 {}^{4} \\ \sf 5 \rightarrow 1 \: \: 5 \: \: 10 \: \: 10 \: \:5 \: \: 1 = 2 {}^{5} \\ \sf 6 \rightarrow 1 \: \: 6 \: \: 15 \: \: 20 \: \: 15 \: \: 6 \: \: 1 = 2 {}^{6} \\ \sf 7 \rightarrow 1 \: \: 7 \: \: 21 \: \: 35 \: \: 35 \: \: 21 \: \: 7 \: \: 1 = 2 {}^{7} \\ \sf 8 \rightarrow 1 \: \: 8 \: \: 28 \: \: 56 \: \: 70 \: \: 56 \: \: 28 \: \: 8 \: \: 1 = 2 {}^{8} \\ \sf 9 \rightarrow 1 \: \: 9 \: \: 36 \: \: 84 \: \: 126 \: \: 126 \: \: 84 \: \: 36 \: \: 9 \: \: 1 = 2 {}^{9} \\ \sf 10 \rightarrow 1 \: \: 10 \: \: 45 \: \: 120 \: \: 210 \: \: 252 \: \: 210 \: \: 120 \: \: 45 \: \: 10 \: \: 1 = 2 {}^{10} </p><p>$

• Uma das propriedades do triângulo de Pascal é que a soma dos números de uma linha é igual a 2 elevado ao número da mesma.

Sabendo dessa propriedade, estamos aptos para aplicá-la em nossa questão. O enunciado pergunta a soma dos elementos da linha 10, portanto a soma será dada por 2 elevado ao número da linha, ou seja, 10.

$\sf \sum_{n = 1}^{n} = 2 {}^{n}\rightarrow 2 {}^{10} = \underline{1024}$

Para saber a quantidade de elementos, basta você ver que é sempre dado pelo número da linha mais 1, ou seja: (n + 1).

$\sf (n + 1) = 10 + 1 = \underline{ \sf 11 \: elementos}$

Espero ter ajudado