Question

1) Quando o Wronskiano associado a um conjunto de funções é igual a zero, temos que as funções são linearmente independentes. Seja o conjunto {x5 e x-4}, assinale a alternativa que apresenta o Wronskiano associado ao conjunto de funções. Alternativas: a) W(x1. X2)= 5 b) W(x1. X2)= -4 c) W(x1. X2)= -5 d) W(x1. X2)= -9 e) W(x1. X2)= 9

Answer 1

O Wronskiano é uma função definida por um determinante. Dadas 2 funções $x_1, x_2$, o Wronskiano delas é definido por

$W(x_1,x_2) = \left|\begin{array}{ccc}x_1&x_2\\x_1'&x_2'\end{array}\right|$

Se $x_1 = x^5,\:\:\:\: x_2 = x^{-4}$, então

$W(x_1,x_2) = \left|\begin{array}{ccc}x^5&x^{-4}\\5x^4&-4x^{-5}\end{array}\right|$

Assim, calculando o determinante,

[tex]W(x_1, x_2) = x^5*-4x^{-5}-x^5 = -4-5 = -9

Alternativa d)

Answer 2

Utilizando a definição do calculo do Wronskiano, temos que o Wrosnkiano deste conjunto de funções é dado por -9, letra D.

Explicação passo-a-passo:

Então temos que nos foi dado o seguinte conjunto de funções:

$C=\{x^5;x^{-4}\}$

E sabemos que o Wronskiano de duas funções é definido pelo determinante da matriz Wronskiana, dada por:

$W=\left[\begin{array}{cc}f_1(x)&f_2(x)\\f_1'(x)&f_2'(x)\end{array}\right]$

Onde $f_1(x)$ e $f_2(x)$ são as duas funçẽos dadas no conjunto e $f_1'(x)$, $f_2'(x)$ são suas respectivas derivadas.

Encontrando estas derivadas, temos que:

$f_1(x)=x^5$

$f_1'(x)=5x^4$

$f_2(x)=x^{-4}$

$f_2'(x)=-4x^{-5}$

Assim substituindo na nossa matriz Wronskiana:

$W=\left[\begin{array}{cc}f_1(x)&f_2(x)\\f_1'(x)&f_2'(x)\end{array}\right]$

$W=\left[\begin{array}{cc}x^5(x)&x^{-4}(x)\\5x^4(x)&-4x^{-5}(x)\end{array}\right]$

O determinante desta matriz é definido pelas multiplicações diagonais, ou seja:

$detW=x^5.(-4).x^{-5}-x^{-4}.5.x^4$

$detW=x^{5-5}.(-4)-5.x^{4-4}$

$detW=-4-5$

$detW=-9$

Assim temos que o Wrosnkiano deste conjunto de funções é dado por -9, letra D.