Question

1) Qual é o desenvolvimento do binômio: (a+1)⁴
a) a³+3a²+3a+1
b)a⁴-4a³+6a²+4a+1
c)a⁴+4a³+6a²+4a+1
d)16a⁴+32a³+24a²+8a+1

Answer 1

Vamos resolver essa questão através do Triângulo de Pascal:

• (Obs: não é uma obrigação ser no Triângulo de Pascal, mas para inovar farei através desse método).

Para encontrar o desenvolvimento de um binômio através do Triângulo de Pascal, devemos escrever até a linha correspondente ao expoente do binômio, ou seja, até a quarta linha.

$\sf 0 \rightarrow 1 \\ \sf 1 \rightarrow 1 \: \: 1 \\ \sf 2 \rightarrow 1 \: \: 2 \: \: 1 \\ \sf 3 \rightarrow 1 \: \: 3 \: \: 3 \: \: 1 \\ \sf 4 \rightarrow 1 \: \: 4 \: \: 6 \: \: 4 \: \: 1$

Após ter escrito o Triângulo de Pascal até a quarta linha, você deve colocar os números que se encontram nessa linha, a frente do binômio.

$\sf (a + 1) {}^{4} = 1 \: \: 4 \: \: 6 \: \: 4 \: \: 1$

• Agora vem a parte interessante, onde devemos colocar o primeiro número do binômio com o expoente do mesmo e ir decrescendo esse expoente até atingir "0".

$\boxed{ \sf x {}^{n} + x {}^{n - 1} + x {}^{n - 2} .....x {}^{0} }$

Aplicando essa mesma lógica:

$\sf (a + 1) {}^{4} = 1a{}^{4} + 4a {}^{3} + 6a {}^{2} + 4a + 1 {a}^{0}$

• Tendo feito isso com o primeiro número, você deve fazer a mesma coisa com o segundo só que mudará o sentido dos expoentes, pois o segundo número inicia no expoente "0" e cresce até atingir o expoente do binômio:

$\boxed{ \sf x {}^{0} + x {}^{n+ 1} + x {}^{n + 2} ....x {}^{n} }$

Aplicando a lógica:

$\sf (a + 1) {}^{4} = 1a {}^{4} .1 {}^{0} + 4a {}^{ 3} . 1 {}^{1} +6 a {}^{2} .1 {}^{2} + 4a {}^{1} .1 {}^{3} +1 a {}^{0} .1 {}^{4} \\ \boxed{\sf (a +1 ) {}^{4} = a {}^{4} +4 a {}^{3} + 6a {}^{2} +4 a + 1}$

Espero ter ajudado