Question

1. (Pucrs 2017) A capital dos gaúchos, oficialmente fundada em 26 de março de 1772, já foi chamada de Porto de Viamão. Atualmente, a também capital dos Pampas recebe o nome de PORTO ALEGRE.Adicionando o número de anagramas formados com as letras da palavra ALEGRE ao de anagramas formados com as letras da palavra PORTO em que as consoantes aparecem juntas, obtemos __________ anagramas.a) 378b) 396c) 738d) 756e) 840

Answer 1

$P_{(n)_{(r_1 \ \cdot \ r_2 \ \cdot \ \dots \ \cdot \ r_n)}} \ \ = \ \frac{n!}{r_1! \ \cdot \ r_2! \ \cdot \ \dots \ \cdot \ r_n!} \\ \\ P_{(n)_{(r_1 \ \cdot \ r_2 \ \cdot \ \dots \ \cdot \ r_n)}} \ \Rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ com \ repeti\c{c}\~oes.$

$ALEGRE \ \longrightarrow \\ \\ Temos \ n \ = \ 6 \ elementos \ com \ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ (dois \ "E" \ 's) \rightarrow \\ \\ \frac{6!}{2!} \ \rightarrow \\ \\ \frac{720}{2} \ = \ \boxed{360 \ anagramas}$

$PORTO \ \longrightarrow \\ \\ Primeiramente, \ vamos \ juntar \ todas \ as \ 3 \ consoantes \ (P,R \ e \ T) \ em \\ um \ elemento \ s\'o. \\ \\ Temos \ ent\~ao \ 3 \ elementos \ (\boxed{CONSOANTES}, \ O, \ O). \\ \\ Permuta \ de \ n \ = \ 3 \ elementos \ com \ 2 \ repeti\c{c}\~oes \ (2 \ "O" \ ' \ s). \\ \\ \frac{3!}{2!} \ = \ \frac{6}{2} \ = \ 3. \\ \\ S\'o \ que, \ al\'em \ disso, \ o \ grupinho \ de \ consoantes \ pode \ permutar-se \\ livremente, com \ 0 \ repeti\c{c}\~oes. \\ \\ \frac{3!}{0} \ = \ 6.$

$Do \ princ\'ipio \ multiplicativo, \ 6 \ \cdot \ 3 \ = \ \boxed{\boxed{18 \ anagramas}}$

$Somando \ os \ anagramas \ \longrightarrow \\ \\ 360 \ + \ 18 \ = \boxed{\boxed{378}}$