1) Prove, usando o Princípio da Indução que para todo número natural n vale que n. Urgente, preciso para 15:30
Soluções para a tarefa
Bom dia!
O que nos é informado nesse caso é a que a soma dos produtos de um número pelo seu sucessor é igual a (n(n+1)(n+2))/3
Vamos testar o caso para o n = 1:
1(1+1) = (1 * 2 * 3)/3
1 * 2 = 6/3
2 = 2.
Para o que chamamos de "base" deu certo.
Supondo que a identidade é valida para um determinado valor que chamemos de X, provemos que vale para X + 1.
x(x+1) + (x+1)(x+2) = (1/3) * x(x+1)(x+2) + (x+1)(x+2).
O que eu fiz foi adicionar o produto (x+1)(x+2) dos dois lados da equação, pois se trata de uma igualdade. Tanto que pode perceber que se eu "cortar" ele dos dois lados da equação, temos a identidade original.
No lado esquerdo da equação, temos a nossa fórmula original, que podemos substituir.
x(x+1) = (x(x+1)(x+2))/3
Substituindo:
(x(x+1)(x+2))/3 + (x+1)(x+2) = (x(x+1)(x+2))/3 + (x+1)(x+2)
Nós poderíamos trabalhar um pouco mais nessa equação de modo a torná-la mais "limpa", no entanto já podemos perceber que o lado esquerdo da equação é igual ao lado direito, o que para provar já é suficiente. Fica a seu critério fazer isso.