Question

1) Para quais números complexos z = a + bi é válida a igualdade z.( ż + 1) – ż = 5 + 4i

2) Determinar os números complexos z, tais que z . ż + (z – ż) = 34 + 10i
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Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Seja z = a + bi, então ż = a - bi

z.(ż + 1) - ż = 5 - 4i

(a + bi).(a - bi + 1) - (a - bi) = 5 + 4i

a² - abi + a + abi - b²i + bi - a + bi = 5 - 4i

a² + a - a - abi + abi + bi + bi - b²i = 5 - 4i

a² + 2bi - b²i = 5 - 4i

a² + (2b - b²) = 5 - 4i

Devemos ter:

=> a² = 5

a = ±√5

• a = √5 ou a = -√5

=> 2b - b² = -4

-b² + 2b + 4 = 0

b² - 2b - 4 = 0

Δ = (-2)² - 4.1.(-4)

Δ = 4 + 16

Δ = 20

b = (2 ± √20)/2.1 = (2 ± 2√5)/2

• b = (2 + 2√5)/2 = 1 + √5

• b = (2 - 2√5)/2 = 1 - √5

Logo, há 4 possibilidades:

=> z = √5 + (1 + √5).i

=> z = √5 + (1 - √5).i

=> z = -√5 + (1 + √5).i

=> z = -√5 - (1 - √5).i

2)

Seja z = a + bi, então ż = a - bi

z . ż + (z - ż) = 34 + 10i

(a + bi).(a - bi) + (a + bi - a + bi) = 34 + 10i

a² - (bi)² + a + bi - a + bi = 34 + 10i

a² - b²i² + a - a + bi + bi = 34 + 10i

a² - b².(-1) + 2bi = 34 + 10i

a² + b² + 2bi = 34 + 10i

Devemos ter:

• 2b = 10

b = 10/2

b = 5

• a² + b² = 34

a² + 5² = 34

a² + 25 = 34

a² = 34 - 25

a² = 9

a = ±√9

• a = 3 ou a = -3

Logo, z = 3 + 5i ou z = -3 + 5i