Question

1)
Para determinar se uma sequência open parentheses a subscript n close parentheses converge ou não, pode-se verificar se existe o limite da sequência, isto é, a sequeência open parentheses a subscript n close parentheses é convergente se limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n equals L e dizemos que a sequência open parentheses a subscript n close parentheses é divergente se limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n equals plus-or-minus infinity.

Considerando open parentheses a subscript n close parentheses equals open parentheses fraction numerator 5 plus 6 n ² over denominator 9 plus 2 n ² end fraction close parentheses, podemos dizer que a sequência open parentheses a subscript n close parentheses é

Alternativas:

a)
divergente.

b)
convergente e converge para 2.

c)
convergente e converge para 3.

d)
limitado superiormente por 2.

e)
limitado inferiormente por 3.

Answer 1

Questão: Para determinar se uma sequência {an} converge ou não, pode-se verificar se existe o limite da sequência, isto é, a sequência {an} é convergente se lim n→∞ {an} = L e dizemos que a sequência {an} é divergente se lim n→∞ {an} = ±∞. Considerando {an} = (5+6n²/9+2n²) podemos dizer que a sequência {an} é : convergente e converge para 3.

Como resolver a questão?

Trata-se de uma questão envolvendo limites.

Devemos encontrar o limite de an, quando n tende ao infinito. Isto é:

$\boxed{\lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{5+6n^2}{9+2n^2}\right)}$

Note que podemos dividir ambos numerador e denominador por n², ficando:

$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{6n^2}{n^2}}{\dfrac{9}{n^2}+\dfrac{2n^2}{n^2}} \right) = \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{\dfrac{5}{n^2}+6}{\dfrac{9}{n^2}+2} \right)$

Portanto, aplicando nesse resultado as propriedades do limite (limite de um quociente e de uma soma), temos:

$\dfrac{ \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{5}{n^2}+6\right)}{ \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{9}{n^2}+2\right)} \Longrightarrow \dfrac{ \overbrace{\lim_{n \to \infty} \dfrac{5}{n^2}}^0+ \overbrace{\lim_{n \to \infty} 6}^6 }{ \underbrace{\lim_{n \to \infty} \dfrac{9}{n^2}}_0 + \underbrace{\lim_{n \to \infty} 2}_2} = \dfrac{0+6}{0+2} = 3$

Como o limite deu um valor L = 3, então, até como ressaltado no enunciado, a sequência é convergente e converge para 3.

Qual é a resposta?

A sequência {an} é convergente e converge para 3.

Resposta: C)

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