Question

1) Para as funções abaixo, determine:

a) a concavidade;
b) os zeros;
c) as coordenadas do vértice (máximo ou minimo);
d) interseção com o eixo y;
e) esboço do gráfico;
f) o conjunto imagem;
g) o estudo de sinal.

1°) f(x) = x² - 4x + 3
2°) y = -x² + 6x
3°) y = x² - 2x + 5
4°) y = -x² + 2x - 1​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

1)F(x)= x^2-4x+3

Cruzamento com eixo x (quando y=0):

Y = x^2-4x+3  >  x^2-4x+3 = 0  >  utilizar bhaskara (a = 1 ,b = -4, c = 3)

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-(-4)±√(〖(-4)〗^2-4.1.3))/2.1

x=(4±√(16-12))/2

x=(4±√4)/2

x=(4±2)/2

X’ = (4+2)/2 = 6/2 = 3

X” = (4-2)/2 = 2/2 = 1

Portanto, os pontos em que y = 0, que são os pontos de intersecção do eixo x, são (3, 0) e (1, 0).

Cruzamento com eixo y (quando x=0):

Y = x^2-4x+3  > y = 0^2-4.0+3 = 0-0+3 =3

Portanto, o ponto em que x = 0, que é o ponto de intersecção do eixo y, é (0, 3)

Para calcular o x do vértice, usamos a fórmula: xv=  (-b)/2a

Xv = (-(-4))/2.1 = 4/2 = 2

Para calcular o y do vértice, usa-se a equação:

yv = (-(b^2-4ac))/4a  

yv = (-((-4)^2-4.1.3))/4.1

yv = (-(16-12))/4  

yv = (-4)/4 = -1

Portanto, o vértice é no ponto (2, -1)

O ponto máximo ou mínimo é determinado de acordo com a concavidade da parábola: quando a concavidade é voltada para cima (a<0), ela tem ponto mínimo; quando é voltada para baixo (a<0), ela tem ponto máximo. Nesse caso, a=1, logo a concavidade é voltada para cima e seu vértice é o ponto mínimo.

2)Y = -x^2+6x

Cruzamento com eixo x (quando y=0):

Y = -x^2+6x >  -x^2+6x = 0 > utilizar bhaskara (a = -1 ,b =6, c = 0)

x=(-6±√(6^2-4.(-1).0))/(2(-1))

x=(-6±√(36-0))/(-2)

x=(-6±6)/(-2)

X’ = (-6+6)/(-2) = 0/(-2) = 0

X” = (-6-6)/(-2) = (-12)/(-2) = 12/2 = 6

Os pontos em que y = 0, que são os pontos de intersecção do eixo x, são (0, 0) e (6, 0).

Cruzamento com eixo y (quando x=0):

y = -x^2+6x  >  y = -0^2+6.0 = 0

O ponto em que x = 0, que é o ponto de intersecção do eixo y, é (0, 0)

X do vértice: xv=  (-b)/2a

Xv = (-6)/(2.(-1)) = (-6)/(-2) = 6/2 = 3

Y do vértice: yv = (-(b^2-4ac))/4a  

yv = (-(6^2-4.(-1).0))/(4.(-1))  

yv = (-(36-0))/(-4)  

yv = (-36)/(-4) = 9

Logo, o vértice é no ponto (3, 9)

Como a<0, a concavidade é voltada para baixo e, portanto, o vértice é o ponto máximo.

3)y=x^2-2x+5

Cruzamento com eixo x (quando y=0):

y=x^2-2x+5  >  x^2-2x+5 = 0  > utilizar bhaskara (a = 1 ,b = -2, c = 5)

x=(-(-2)±√(〖(-2)〗^2-4.1.5))/2.1

x=(2±√(4-20))/2

A raiz ficando negativa (-15) significa que a parábola não cruza o eixo x.

Cruzamento com eixo y (quando x=0):

y=x^2-2x+5  >  y=0^2-2.0+5  >  y = 5

O ponto em que x = 0, que é o ponto de intersecção do eixo y, é (0, 5)

X do vértice: xv=  (-b)/2a

xv=  (-(-2))/2.1 = 2/2 = 1

Y do vértice: yv = (-(b^2-4ac))/4a  

yv = (-((-2)^2-4.1.5))/4.1

yv = (-(4-20))/4

yv = (-(-16))/4 = 16/4 = 4

Logo, o vértice é no ponto (1, 4)

Como a>0, a concavidade é voltada para cima e, portanto, o vértice é o ponto mínimo.

4)y=-x^2+2x-1

Cruzamento com eixo x (quando y=0):

y=-x^2+2x-1  >  -x^2+2x-1=0  > utilizar bhaskara (a = -1 ,b = 2, c = -1)

x=(-2±√(2^2-4.(-1).(-1)))/(2.(-1))

x=(-2±√(4-4))/(-2)

x=(-2±0)/(-2)

X’ = (-2+0)/(-2) = (-2)/(-2) = 1

X’ = (-2-0)/(-2) = (-2)/(-2) = 1

Há apenas um ponto em que y = 0, que é o ponto de intersecção do eixo x e também é o vértice: (1, 0)

Cruzamento com eixo y (quando x=0):

y=-x^2+2x-1  >  y=-0^2+2.0-1  >  y=-1

O ponto em que x = 0, que é o ponto de intersecção do eixo y, é (0, -1)

Como a<0, a concavidade é voltada para baixo e, portanto, o vértice é o ponto máximo.

Answer 2

1°) f(x) = x² - 4x + 3

a) Concavidade positiva

b) x = {1, 3} (regra da soma e produto)

c) Coordenada do vertice (-2,-1);

d) x=0 e y=3 é o ponto de interseção  no eixo y;

e) Esboço do gráfico é uma parabola "para cima" com vertice em (y= -1), raízes em x=1 e x=3 e que intercepta o eixo y no valor y=3

f) O conjunto imagem é [-1, ∞);

g) O sinal é positivo nos intervalos (-∞, 1) e (3,∞) e é negativo no intervalo (1,3)

2°) y = -x² + 6x = x( -x + 6)

a) Concavidade negativa

b) x = {0, 6} ( veja que x( -x + 6) )

c) Coordenada do vertice(3,9);

d) x=0 e y=0 é o ponto de interseção no eixo y;

e) Esboço do gráfico é uma parabola "para baixo" com vertice em (y=9), raízes em x=0 e x=6 e que intercepta o eixo y no valor y=3

f) O conjunto imagem é (-∞,9];

g) O sinal é positivo no intervalo (0,6)  e é negativo nos intervalos (-∞,0) e (6,∞)

3°) y = x² - 2x + 5

a) Concavidade positiva

b) Não existem raízes (não intercepta o eixo x)

c) Coordenada do vertice (1,4);

d) x=0 e y=5 é o ponto de interseção  no eixo y;

e) Esboço do gráfico é uma parabola "para cima" com vertice em (1,4), sem raízes  e que intercepta o eixo y no valor y=5

f) O conjunto imagem é [4, ∞);

g) O sinal é positivo nos intervalos (-∞, ∞)

4°) y = -x² + 2x - 1​

a) Concavidade negativa

b) raíz única x= 1

c) Coordenada do vertice (1,0);

d) x=0 e y=-1 é o ponto de interseção  no eixo y;

e) Esboço do gráfico é uma parabola "para baixo" com vertice em (1,0), com raíz única x=1  e que intercepta o eixo y no valor y=-1

f) O conjunto imagem é (-∞0];

g) O sinal é negativo nos intervalos (-∞, ∞)