Matemática, perguntado por marianadaveiga, 6 meses atrás

1) Num levantamento entre 400 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos os seguintes resultados 102 estudam inglês, 64 estudam francês e 70 estudam espanhol, 30 estudam inglês e francês , 18 francês e espanhol, 38 inglês e espanhol e 10 estudam os três idiomas. a) Quantos não estudam nenhum desses idiomas.
b) Quantos no total estudam apenas um desses idiomas

Soluções para a tarefa

Respondido por Atoshiki

Referente ao levantamento, Item A, 240 estudantes não estudam nenhum dos três idiomas, e no item B, 94 estudam APENAS um idioma.

$\blacksquare$ Acompanhe a solução:

→ dados:

levantamento sobre estudo de idiomas
total de estudantes: 400
estudam Inglês: I = 102
estudam Francês: F = 64
estudam Espanhol: E = 70
estudam Inglês e Francês: 30
estudam Francês e Espanhol: 18
estudam Inglês e Espanhol: 38
estudam os três idiomas: 10

Trabalhando com o tema "Conjuntos", podemos notar que há as chamadas intersecções (∩) entre os conjuntos. Sabendo que a intersecção refere-se aos elementos comuns entre cada conjunto, podemos dizer que no caso acima, daqueles que estudam os três idiomas estão contabilizados entre aqueles que estudam dois idiomas e que por sua vez também é contabilizado entre aqueles que estudam um idioma. Desta forma, é preciso descontá-los.

Não devemos esquecer que o total de 400 alunos é a soma de todos os elementos envolvidos.

Diante disto, podemos identificar os alunos que estudam dois ou mais idiomas:

Inglês e Francês: I∩F = 30
Francês e Espanhol: F∩E = 18

Inglês e Espanhol: I∩E = 38

os três idiomas: I∩F∩E = 10

Além disso, o enunciado mencionou que há aqueles que não estudam nenhum dos três idiomas e aqueles que estudam APENAS um idioma, respectivamente chamaremos de: Ñ, e apenas Inglês ( $\overline{I}$ ), apenas Francês ( $\overline{F}$ ) e apenas Espanhol ( $\overline{E}$ ).

$\blacksquare$ Representação gráfica dos conjuntos - Diagrama de Venn:

Total de alunos: 400

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.77,2.77)(0,3)\bezier(3,0)(2.77,2.77)(0,3)\bezier(-3,0)(-2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(3,0)(2.77,-2.77)(0,-3)\bezier(0,0)(0.17,2.77)(3,3)\bezier(6,0)(5.77,2.77)(3,3)\bezier(0,0)(0.17,-2.77)(3,-3)\bezier(6,0)(5.77,-2.77)(3,-3)\bezier(-1.5,3)(-1.4,5.77)(1.5,6)\bezier(4.5,3)(4.4,5.77)(1.5,6)\bezier(-1.5,3)(-1.17,0.2)(1.5,0)\bezier(4.5,3)(4.27,0.2)(1.5,0)\put(1.3,5){\Large$\sf \overline{I}$}\put(5.2,-0.2){\Large$\sf \overline{F}$}\put(-2.7,-0.2){\Large$\sf \overline{E}$}\put(-1,2){\large$\sf I \cap E$}\put(2.6,2){\large$\sf I \cap F$}\put(0.7,-1.4){\large$\sf F \cap E$}\put(0.4,0.4){\large$\sf I \cap F \cap E$}\put(-3.5,-3.7){\Large$\sf \~N$}\put(-4,-4){\line(1,0){11}}\put(-4,7){\line(1,0){11}}\put(-4,-4){\line(0,1){11}}\put(7,-4){\line(0,1){11}}\end{picture}$

$\blacksquare$ Cálculos:

Com base no diagrama de Venn, podemos notar que para encontrarmos aqueles que estudam dois idiomas, devemos subtrair daqueles que estudam três idiomas.

E para obtermos aqueles que estudam APENAS um idioma, devemos descontar daqueles que estudam um idioma, aqueles que estudam de fato dois idiomas e também aqueles que estudam três idiomas. Veja:

→ Descontando aqueles que estudam os três idiomas, daqueles que estudam dois idiomas:

$\large\begin {array}{l}\Rightarrow I\cap F-I\cap F\cap E =30-10=\boxed{\boxed{20}}\Huge\checkmark \\\\\Rightarrow F\cap E-I\cap F\cap E =18-10=\boxed{\boxed{8}}\Huge\checkmark\\\\\Rightarrow I\cap E-I\cap F\cap E =38-10=\boxed{\boxed{28}}\Huge\checkmark \end {array}$

Assim, de fato, 20 estudam I∩F, 8 estudam F∩E e 28 estudam I∩E.

→ Descontando aqueles que estudam os três idiomas e aqueles que de fato estudam dois idiomas, daqueles que estudam um idioma:

→Observação: Note no diagrama que um conjunto faz 2 intersecções entre outros dois conjuntos. Devemos descontar ambos.

O conjunto daqueles que estudam Inglês, faz intersecção entre o conjunto daqueles que estudam Espanhol e Francês. E assim, vai. Assim, temos:

$\large\begin {array}{l}\Rightarrow I-I\cap E-I\cap F-I\cap F\cap E =102-28-20-10=\boxed{\boxed{44}}\Huge\checkmark \\\\\ \Rightarrow F-I\cap F-F\cap E-I\cap F\cap E =64-20-8-10=\boxed{\boxed{26}}\Huge\checkmark \\\\\Rightarrow E-F\cap E-I\cap E-I\cap F\cap E =70-8-28-10=\boxed{\boxed{24}}\Huge\checkmark \end {array}$

Assim, a quantidade de estudantes que APENAS estudam Inglês ( $\overline{I}$ ) é 44, APENAS estudam Francês ( $\overline{F}$ ) é 26, e APENAS estudam Espanhol ( $\overline{E}$ ) é 24.

→ Cálculo do total que estudam APENAS um idioma:

$\large\begin {array}{l}\overline{I}+\overline{F}+\overline{E}=44+26+24=\Large\boxed{\boxed{94}}\Huge\checkmark\end {array}$

Assim, 94 estudantes estudam APENAS um desses idiomas.

→ Cálculo daqueles que não estudam nenhum desses três idiomas:

Se, o total da soma são os 400 estudantes, temos:

$\large\begin {array}{l}400=\overline{I}+\overline{F}+\overline{E}+I\cap F+F\cap E + I\cap E+I\cap F\cap E+\~N\\\\400=44+26+24+20+8+28+10+\~N\\\\\~N=400-160\\\\\Large\boxed{\boxed{\~N=240}}\Huge\checkmark\end {array}$