1) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x + y – 3 = 0 e o ponto de coordenadas A=(1,2). a) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é paralela à reta r. b) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r.
Soluções para a tarefa
Resposta:
equação da reta s é y = -x + 5; A interseção entre as retas r e s é o ponto (-4,9); A equação reduzida da circunferência é (x - 2)² + (y - 3)² = 2; A equação geral desta circunferência é x² - 4x + y² - 6y - 11 = 0.
a) A equação reduzida da reta é da forma y = ax + b. Substituindo os pontos A = (1,4) e B = (3,2) nessa equação, obtemos o sistema:
{a + b = 4
{3a + b = 2.
Da primeira equação, temos que b = 4 - a. Substituindo o valor de b na segunda equação:
3a + 4 - a = 2
2a = -2
a = -1.
Logo, o valor de b é:
b = 4 - (-1)
b = 5.
Portanto, a equação da reta s é s: y = -x + 5.
b) Se y = -x + 5, então:
2x + (-x + 5) = 1
2x - x + 5 = 1
x = -4.
Assim, o valor de y é:
y = -(-4) + 5
y = 4 + 5
y = 9.
Portanto, a interseção entre as duas retas é o ponto (-4,9).
c) Se o diâmetro da circunferência é o segmento AB, então o centro da mesma é o ponto médio de AB:
2C = A + B
2C = (1,4) + (3,2)
2C = (4,6)
C = (2,3).
Para calcularmos o raio, vamos calcular a distância entre os pontos A e C:
r² = (2 - 1)² + (3 - 4)²
r² = 1² + (-1)²
r² = 1 + 1
r² = 2.
Portanto, a equação reduzida da circunferência é (x - 2)² + (y - 3)² = 2.
d) A equação geral da circunferência é:
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 2
x² - 4x + y² - 6y - 11 = 0.
Explicação passo-a-passo:
espero ter ajudado