Question

1) No plano cartesiano, considere a reta r de equação 2x + y = 1 e os pontos de coordenadas A= (1, 4) e B= (3, 2).

a) Escreva a equação da reta s que passa pelos pontos A e B.
b) Encontre as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas r e s.
c) Determine a equação canônica (ou reduzida) da circunferência na qual o segmento ̅A̅̅B̅ é um diâmetro.
d) Determine a equação geral desta circunferência.

Answer 1

A equação da reta s é y = -x + 5; A interseção entre as retas r e s é o ponto (-4,9); A equação reduzida da circunferência é (x - 2)² + (y - 3)² = 2; A equação geral desta circunferência é x² - 4x + y² - 6y - 11 = 0.

a) A equação reduzida da reta é da forma y = ax + b. Substituindo os pontos A = (1,4) e B = (3,2) nessa equação, obtemos o sistema:

{a + b = 4

{3a + b = 2.

Da primeira equação, temos que b = 4 - a. Substituindo o valor de b na segunda equação:

3a + 4 - a = 2

2a = -2

a = -1.

Logo, o valor de b é:

b = 4 - (-1)

b = 5.

Portanto, a equação da reta s é s: y = -x + 5.

b) Se y = -x + 5, então:

2x + (-x + 5) = 1

2x - x + 5 = 1

x = -4.

Assim, o valor de y é:

y = -(-4) + 5

y = 4 + 5

y = 9.

Portanto, a interseção entre as duas retas é o ponto (-4,9).

c) Se o diâmetro da circunferência é o segmento AB, então o centro da mesma é o ponto médio de AB:

2C = A + B

2C = (1,4) + (3,2)

2C = (4,6)

C = (2,3).

Para calcularmos o raio, vamos calcular a distância entre os pontos A e C:

r² = (2 - 1)² + (3 - 4)²

r² = 1² + (-1)²

r² = 1 + 1

r² = 2.

Portanto, a equação reduzida da circunferência é (x - 2)² + (y - 3)² = 2.

d) A equação geral da circunferência é:

x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 2

x² - 4x + y² - 6y - 11 = 0.