Question

1- No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária
justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o
primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco
deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
2- Em uma empresa, quinze funcionários se candidataram para as vagas de diretor e vice-diretor financeiro. Eles serão
escolhidos através do voto individual dos membros do conselho da empresa. Vamos determinar de quantas maneiras
distintas essa escolha pode ser feita.
3- Na competição de interclasse da escola, há 10 turmas competindo entre si pela medalha de ouro, prata e bronze.
Então, o número de maneiras distintas que o pódio pode ser formado é igual a:
A) 120
B) 460
C) 540
D) 720
E) 90
4- Durante uma palestra no auditório, há 6 cadeiras vazias consecutivas, assim, o número de maneiras distintas que
Amanda, Beatriz, Carla e Daiane podem se sentar nessas cadeiras é igual a:
A) 720
B) 360
C) 120
D) 90
E) 15
5- As senhas bancárias são construídas com 4 dígitos. Durante a criação da senha, a gerente da Karla recomendou que
ela criasse uma senha com 4 dígitos, todos distintos entre si. Suponha que Karla seguiu a recomendação de sua
gerente, assim, o número de senhas distintas que ela pode criar é igual a:
A) 210
B) 420
C) 1840
D) 2520
E) 5040
6- O setor de Recursos Humanos de uma determinada empresa vai realizar a contratação de 4 funcionários para os
cargos de vendedor interno, atendente, auxiliar administrativo e vendedor externo. A seleção será realizada em duas
etapas, a primeira será a análise de currículo de todos os candidatos, independentemente do cargo. Durante a análise
de currículo, serão selecionados 10 candidatos para participar da entrevista. Durante a entrevista, o setor de Recursos
Humanos terá que descartar 6 candidatos e escolher 4 já com cargos definidos de acordo com o perfil dos candidatos.
Sendo assim, o número de agrupamentos possíveis para a contratação desses 4 funcionários será:
A) 1725
B) 2540
C) 3780
D) 5040
E) 10.080

Answer 1

Resposta:

1) Sendo uma senha com quatro algarismos distintos, e o zero fazendo parte desse conjunto numérico, temos 10 possíveis algarismos para a senha. Sendo que o 5 e o 6 já fazem parte da senha, temos 8 possibilidades para os outros dois dígitos, então teremos um dos dígitos com 8 possibilidades e o outro com 7. (Em negrito são os números que a dona Antônia já sabe, e sem negrito são as possibilidades de algarismos distintos.)

• 1° caso, 6 no segundo dígito: 5 6 8 7
• 2° caso, 6 no terceiro dígito:5 8 6 7
• 3° caso, 6 no quarto dígito:5 8 7 6

Essas são as possibilidades de senhas que a dona Antônia pode tentar.

Como a ordem dos algarismos importa, temos um arranjo de 8 números com 2 dígitos, e três possibilidades de arranjo diferentes.

$A_{n,p} = \frac{p!}{(n-p)!} \\\\ Em\ que\ p = todas\ possibilidades\ e\ n=quantidade\ a\ ser\ escolhida$
$A_{8,2} =\dfrac{8!}{(8-2)!}\\ A_{8,2} =\frac{8*7*6!}{6!} = 56\\ Como\ temos\ 3\ possibilidades:\\ 3*56=168$

Então o número máximo de tentativas que o banco deve permitir para que dona Antônia consiga fazer o seu saque é de 168.

2) Como temos aqui mais um caso em que a ordem dos colocados importa, temos outro arranjo, visto que é por votação, então o mais votado vai ser o diretor e o segundo o vice.

Temos 15 funcionários e 2 posições.

$A_{15,2} = \dfrac{15!}{(15-2)!} \\\\ A_{15,2} = \dfrac{15*14*13!}{13!}\\\\ A_{15,2} = 15*14= 210$

Portanto, temos 210 maneiras diferentes de compor o quadro da direção da empresa.

3) Novamente, mais um caso em que a ordem importa, portanto, temos mais um arranjo. Temos 10 turmas para 3 posições.

$A_{10,3} =\dfrac{10!}{(10-3)!} \\\\ A_{10,3} =\dfrac{10*9*8*7!}{7!}\\\\ A_{10,3} =10*9*8=720$

Portanto, temos 720 maneiras diferentes de compor o quadro de vencedores da competição de interclasse dessa escola.

4) Quem tem amigos sabe que sentar do lado de fulano ou ciclano, e não sentar do lado de beltrano, importa. Nesse caso, é importante compreender que a ordem em que essas amigas vão sentar é importante, e isso significa que temos mais um caso de arranjo.

Temos 4 amigas para 6 lugares diferentes.

$A_{6,4} =\dfrac{6!}{(6-4)!} \\\\ A_{10,3} =\dfrac{6*5*4*3*2!}{2!}\\\\ A_{10,3} =6*5*4*3=360$

Portanto, essas amigas podem brincar de dança das cadeiras por 360 possibilidades diferentes! Haja glúteos meu amigo.

5) Mais um caso de senha de bancos, e esse até mais simples que o primeiro. Temos 10 possibilidades de algarismos e 4 dígitos para a senha.

$A_{10,4} =\dfrac{10!}{(10-4)!} \\\\ A_{10,4} =\dfrac{10*9*8*7*6!}{6!}\\\\ A_{10,4} =10*9*8*7=5040$

Temos, portanto, 5040 combinações com diferentes algarismos para a senha da conta do banco da Karla. Boa sorte, hackers!

6) Aqui devemos compreender o que a questão está pedindo. Primeiro eles nos falam que são selecionadas 10 pessoas, que é o nosso total de possibilidades, em seguida, devemos selecionar 4 desses 10 para compor o quadro de funcionários, sendo que a ordem desses funcionários importa. Portanto, temos mais um caso de arranjo.

$A_{10,4} =\dfrac{10!}{(10-4)!} \\\\ A_{10,4} =\dfrac{10*9*8*7*6!}{6!}\\\\ A_{10,4} =10*9*8*7=5040$

Temos, portanto, 5040 possibilidades diferentes de compor o quadro de funcionários dessa empresa entre os candidatos selecionados.

UFA! Deu trabalho, mas espero ter ajudado! :)