Question

1. Na figura, AO = OB = OC. Os pontos A, O, e D estão alinhados, e os pontos D e E no segmento BC são tais que BD = DE = EC = OD = OE.

A) Calcule a medida do ângulo ODE.

B) Calcule a medida do ângulo BOE.


C) Calcule a medida do ângulo BAC.

Answer 1

Resposta:

Primeiro precisamos marcar no desenho as medidas que são congruentes, assim podemos enxergar melhor o que está acontecendo. Veja a imagem

Observe que , o que faz com que o triângulo  seja equilátero e assim

O ângulo , adjacente a  é o complementar de 60, logo ele vale:

180 - 60 = 120

O triângulo  é isósceles, pois . Sabemos que a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180, como ele é isósceles, se chamamos os outros ângulos de x, temos que:

Assim descobrimos que o ângulo  e:

O triângulo  é também isósceles pois , o que significa que os ângulos . Como A, O e D são pontos colineares, temos que  é ângulo externo do triângulo  e pelo Teorema do Ângulo Externo ele vale a soma dos ângulos internos não adjacentes desse triângulo, ou seja, sua medida será 120 + 30 = 150.

Como , os triângulos  e  são isósceles. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 e um deles vale 150, temos que:

E por fim, como o ângulo  é formado por dois ângulos de 15, logo sua medida é 30.

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

a) A medida do ângulo ODE é 60°.

b) A medida do ângulo BOE é 90°.

c) A medida do ângulo BAC é 60°.

Esta questão se trata de triângulos.

Os triângulos podem ser classificados de acordo com a medida dos seus lados em:

• Equilátero: todos os lados e ângulos de mesma medida;
• Isósceles: dois lados e ângulos de mesma medida;
• Escaleno: todos os lados e ângulos de medidas diferentes;

a) O triângulo ODE tem todos os lados de mesma medida, então seus ângulos terão a mesma medida. Como a soma dos ângulos do triângulo é 180°, temos:

ODE = 180°/3 = 60°

b) O triângulo BOE é isósceles, logo, os ângulos da base são iguais. Note que os ângulos BDO e ODE são suplementares, logo:

BDO + ODE = 180°

BDO = 180° - 60°

BDO = 120°

Então, o ângulo BOD da base deve medir:

BOD = (180° - 120°)/2

BOD = 30°

O ângulo BOE é a soma dos ângulos BOD e ODE:

BOE = 30° + 60°

BOE = 90°

c) Os ângulos BOD e AOB são suplementares, logo AOB = 150° e consequentemente BAO = 15°.

Os ângulos DOE e EOC são complementares, logo, DOC = 90° e consequentemente AOC = 90°.

Como AOC é isósceles, os ângulos OAC e OCA são iguais e medem 45°.

Por fim, o ângulo BAC mede:

BAC = BAO + OAC

BAC = 15° + 45°

BAC = 60°

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