Question

1-Maria está no degrau do meio de uma escada.Ela desce 3 degraus e sobe Em seguida,desce 4 e sobe 8,quando chega ao último degrau.Quantos são os degraus dessa escada?
2-Seja K um número real negativo.Então,o conjunto de todos os números reais x tais que,ao mesmo tempo,
x-k/k ≥1 e x+k^2/k a) ]–4, 2[
b) ]4, + ∞[
c) formado por um único elemento.
d) vazio.

Answer 1

Questão 1.

Seja $n$ o número de degraus da escada.

Se Maria está no degrau do meio, então o número de degraus $n$ deve ser necessariamente ímpar.

Se dispusermos os degraus como uma sequência numérica, obtemos:

$(1,\,2,\ldots,\,n)$


Maria parte do degrau do meio. Este degrau corresponde ao termo médio da sequência acima:

$\dfrac{n+1}{2}$


Após as subidas e descidas descritas no enunciado, Maria acaba no último degrau. Então, devemos ter

$\dfrac{n+1}{2}-3+7-4+8=n\\\\\\ \dfrac{n+1}{2}+8=n\\\\\\ \dfrac{n+1}{2}=n-8\\\\\\ n+1=2\,(n-8)\\\\\\ n+1=2n-16\\\\ n-2n=-16-1\\\\ -n=-17\\\\ \boxed{\begin{array}{c}n=17 \end{array}}$


Portanto, a escada tem 17 degraus.

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Questão 2.

Seja $k$ um número real negativo, isto é $k<0.$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a 1ª inequação para $x$

$\dfrac{x-k}{k}\ge 1$


Multiplicando os dois lados por $k<0,$ o sentido da desigualdade se inverte:

$x-k\le k\\\\ x\le k+k\\\\ x\le 2k~~~~~~\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a 2ª inequação para $x$

$\dfrac{x+k^2}{k}<k+2\\\\\\ x+k^2>k\cdot (k+2)\\\\\\ x+k^2>k^2+2k\\\\ x>k^2+2k-k^2\\\\ x>2k~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Analisando $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ verificamos que não existe valor de $x$ que satisfaça as duas sentenças simultaneamente. Portanto, a solução do sistema

$\left\{\!\begin{array}{l} \dfrac{x-k}{k}\ge 1\\\\ \dfrac{x+k^2}{k}<k+2 \end{array} \right.$

é o conjunto vazio.


Resposta: alternativa $\text{d) vazio}.$