Question

1)Integral de x^2+1 / raiz cúbica de x+3
2) integral de e^ax.cos(bx)dx;com a,b diferente de 0
3)x^3.cos(x^2)dx
4)e^-t.cos(pí.t)dt

Answer 1

1) I = ∫ (x^2 + 1) / (x + 3)^(1/3) dx

u = x + 3 => du = dx

x^2 = (u - 3)^2

Substituindo, e, então, expandindo:

I = ∫ [(u - 3)^2 + 1] / [u^(1/3)] du

∫ (u^2 - 6u + 10) / [u^(1/3)] du

∫ u^(2 - 1/3) - 6u^(1 - 1/3) + 10u^(-1/3) du

∫ u^(5/3) - 6u^(2/3) + 10u^(-1/3) du

Agora podemos integrar.

I = 3u^(8/3)/5 - 18u^(5/3)/5 + 30u^(2/3)/2 + C

Substituindo u = x + 3, temos:

I = 3(x + 3)^(8/3)/5 - 18(x + 3)^(5/3)/5 + 30(x + 3)^(2/3)/2 + C

2) É necessário, nesse caso, aplicar a integração por partes duas vezes:

∫ u dv = uv - ∫ v du

∫ e^(ax)cos(bx) dx

u = cos(bx) -> du = -bsen(bx) dx

dv = e^(ax) dx -> v = e^(ax) / a

∫ e^(ax)cos(bx) dx = e^(ax)cos(bx ) / a - [∫ -be^(ax)sen(bx) / a dx]

u = -bsen(bx) -> du = -b^(2)cos(bx)

dv = e^(ax) / a -> v = e^(ax) / a^2

Dessa vez, temos então que:

e^(ax)cos(bx ) / a - [∫ -be^(ax)sen(bx) / a dx] = e^(ax)cos(bx ) / a - [ -be^(ax)sen(bx) / a^2 - ∫ - b^(2)e^(ax)cos(bx)/a^2 dx

= e^(ax)cos(bx )/(a) +be^(ax)sen(bx)/(a^2) - ∫ b^(2)e^(ax)cos(bx)/a^2 dx

Já que (b^2)/(a^2) são constantes, podemos colocá-los do lado de fora da integral e, voilà, retornamos à integral original neste lado da equação.

∫ e^(ax)cos(bx) dx = e^(ax)cos(bx )/(a) +be^(ax)sen(bx)/(a^2) - (b^2/a^2)∫ e^(ax)cos(bx) dx

Agora basta resolver para ∫ e^(ax)cos(bx) dx. Temo, então (pulando as manipulações, claro),

∫ e^(ax)cos(bx) dx = (be^(ax)sen(bx) + ae^(ax)cos(bx))/(a^2 + b^2) + C

3) ∫ x^3 cos(x^2) dx

t = x^2 -> dt = 2x dx -> dx = dt/2x

Substituindo, então:

(1/2) ∫ t cos t dt

Agora, é necessário a integração por partes:

u = t -> du = dt

dv = cos t dt -> v = sen t

(1/2) ∫ t cos t dt = (1/2) t sen t - (1/2)∫ sen t dt

= (1/2) t sen t + (1/2) cos t + C

Agora, substituimos t = x^2

∫ x^(3)cos(x^2) dx = x^(2) sen(x^2)/2 + cos(x^2)/2 + C

4) ∫ e^(-t) cos (pi t) dt

Pela integração por partes, temos:

u = cos(pi t) -> du = -(pi)sen(pi t) dt

dv = e^(-t) dt -> v = -e^(-t)

∫ e^(-t) cos (pi t) dt = -e^(-t)cos(pi t) - ∫ (pi)e^(-t)sen(pi t) dt

De novo, pela integração por partes, temos:

u = (-pi)sen(pi t) -> du = -(pi^2)cos(pi t) dt

dv = -e^(-t) -> v = e^(-t)

-e^(-t)cos(pi t) - ∫ (pi)e^(-t)sen(pi t) dt = -e^(-t)cos(pi t) - ( (-pi)e^(-t)sen(pit) - ∫ -(pi^2)e^(-t)cos(pit) dt )

= -e^(-t)cos(pi t) + (pi)e^(-t)sen(pit) - (pi^2)∫ e^(-t)cos(pit) dt )

Temos, enfim, ∫ e^(-t)cos(pit) dt em ambos os lados da equação. Pulandos as manipulações, temos que:

∫ e^(-t)cos(pit) dt = ( (pi)e^(-t)sen(pit) - e^(-t)cos(pit) )/(pi^2 + 1) + C.

Voilà.