Question

1) Igor tem um pedaço de cartolina no formato de um triângulo isósceles com lados que medem:
30 cm, 30 cm e 48 cm,

E pretende recortar um pedaço retangular com medidas x e y conforme indicado na imagem (olhe a imagem que coloquei ai)
A) qual é a área total do pedaço de cartolina?

B)escreva a lei de formação de uma função que expresse a medida y em função da medida x
C) quais as medidas do retângulo para que sua área seja maxima? Qual é essa área?​

Answer 1

Geometria Euclidiana (Plana)

   Leia a solução paralelamente à figura.

a) A área de todo e qualquer triângulo pode ser calculada pelo teorema:

$S_{\Delta}=\dfrac{(2\cdot AM')\cdot BM'}{2}\leftrightarrow S_{\Delta}=432~cm^{2}.$

b) Segue a resolução:

Note que o ΔAMP e o ΔABM' são semelhantes. Dessa forma, podemos escrever que,

$\dfrac{MP}{BM'}=\dfrac{AP}{AM'} \leftrightarrow \dfrac{x}{h}=\dfrac{AP}{AM'}\quad(\alpha)$  

   Precisamos descobrir AP e h para construirmos a relação.  

   Então, olhe para o triângulo ΔABM'. Como AM' é metade da medida de AC:

$AM' =\dfrac{48}{2}=24~cm.$

   Sendo assim,

$\dfrac{x}{h}=\dfrac{AP}{24}\leftrightarrow AP = \dfrac{24x}{h}\quad(\beta)$

   Vamos calcular h:

AB² = AM'² + h² ⇒ h² = 900 - 576 ⇒ h² = 324 ⇒ h = 18 cm.

Logo, substituindo o valor de h em (β):

$AP=\frac{4x}{3}$

   Lembre-se que:

$AM' = \dfrac{y}{2} + AP$

   Daí,

$24 = \dfrac{y}{2} + \dfrac{4x}{3}$.

   Daí,

$y=48-\dfrac{8}{3}x$

c) Área máxima ocorre quando M é ponto médio de AB.

Prova:

   A função área é dada por:

$A(x) = -\dfrac{8x^2}{3} + 48x$

   Note que é o mesmo que: (x.(-8x/3 + 48))

$A(x)=(x.(-8x/3 + 48))$

   Está função possui como raízes 0 e 18, com seu ponto de máximo (y do vértice) localizado no ponto médio entre esses dois números (x = 9).Então, área máxima é quando x ← 9:

$A_{max}=A(9)=216~cm^{2}$

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/30037390

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Answer 2

Vamos antes de tudo relembrar alguns conceitos:

Equação de segundo grau:

Essa equação tem a seguinte estrutura:

$a {x}^{2} + bx + c = 0$

Desde que :

$a\ne0$

Para saber o "x" que faz essa função ser máxima devemos aplicar a fórmula :

$x _v = \dfrac{ - b}{2a}$

Para achar o máximo dessa função ,basta substituir esse x na equação.

Área de um triângulo

Essa área têm duas formas de calcular :

• Fórmula de Herão

$a = \sqrt{p \times (p - a) \times (p - b) \times (p - c)}$

Sendo :

$p = \dfrac{a + b + c}{2}$

E a,b e c os lados dos triângulo.

• Segunda forma :

$a = \dfrac{b \times h}{2}$

Sendo :

$\fbox{b = base} \\ \fbox{h = altura}$

a) Vamos achar o p primeiramente:

$p = \dfrac{30 + 30 + 48}{2} \\ p = \dfrac{108}{2} \\ p = 54$

Agora vamos aplicar a fórmula de Herão.

$\sqrt{54 \times (54 - 30) \times (54 - 30) \times (54 - 48)}$

$\sqrt{54 \times 24 \times 24 \times 6} \\ \sqrt{24 \times 24 \times 324} = 24 \times 18 = 432$

$\fbox{a = 432 {cm}^{2}}$

b )e c)

Supondo a área do triângulo de v

v= a+b+c+d

sendo a e b as áreas dos triângulos ao lado do retângulo , como esses triângulos são semelhantes

a=b

v=2a+c+d

Com 2a temos pelo menos a metade da área do triângulo.

c+d seria a outra metade .

então c pode ser no máximo a metade da aérea só triângulo e por consequência altura também.

OBS: Espero que você tenha uma outra visão de resolver .

espero ter ajudado