Question

1) Faça o que se pede:
(a) Considere u, v vetores ortogonais tais que |u| = 3, |v| = 4. Calcule |u - v|.
(b) Existem vetores u e v tais que |u| = 1, |v| = 2 e u.v = 4? Justifique sua resposta.

2) Verifique se a afirmação abaixo é falsa ou verdadeira. Caso seja verdadeira, prove-a.
(a) u.v = u.w ⇒ v = w

Answer 1

1-
a)
Como u e v são ortogonais,
u.v = 0
Fazendo (u-v).(u-v)
(u-v).(u-v) = |u-v|² = u.u - 2 (u.v) + v.v
Como módulo só assume valores positivos ou é zero,
|u-v| = $\displaystyle\sqrt{|u|^{2} + |v|^{2}}$
|u-v| = $\displaystyle\sqrt{9 + 16}$
|u-v| = √25
|u-v| = 5

b)
Seja θ o ângulo entre u e v,
Como u.v = |u| |v| cos θ, e como cosseno assume valores entre -1 e 1, o valor máximo de u.v é para cos θ = 1, logo (u.v)$\displaystyle_{max}$ = |u| |v| = 2, logo seria impossível u.v = 4

2-
a)
A afirmação está incorreta, pois, para u.v = u.w, v não precisa ser, necessariamente, igual a w.
Seja α o ângulo entre u e v, e β, o ângulo entre u e w,
O correto seria, u.v = u.v se, e somente se, |v| cos α = |w| cos β
Por exemplo, os vetores
u = (1,1,1)
v = (4,1,4)
w = (8,1,0)
u.v = 4 + 1 + 4 = 9
u.w = 8 + 1 + 0 = 9
Nesse caso u.v = u.w, mas v ≠ w.