Question

( 1 ).Estude a posição relativa dos pares de retas

a)y+x-7=0 e 2x-2y+1=0

b)2x-y-6=0 e -4x+2y-5=0


( 2 ).Escreva na forma reduzida a equação da circunferência
5x2+5y2+40x-10x+55=0​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Introdução ao estudo da recta e da circunferência

(a) dada as rectas $y+x-7=0~e~2x-2y+1=0$

Para estudar a posição relativa entre as duas rectas , primeiro vamos escrever as mesmas na forma reduzida :

$y~=~-x+7~e~y~=~x+\dfrac{1}{2}$

Notemos que os seus declives ( coeficientes angulares ) são respectivamente -1 e 1 e a multiplicação desses declives dá como resultado -1.

Então podemos dizer que essas duas rectas são perpendiculares.

Nota: Duas rectas dizem-se perpendiculares se e somente se a multiplicação dos seus declives é -1.

(b) $2x-y-6=0~e~-4x+2y-5=0$

Reduzindo as equações:

$2x-6~=~y~e~2y~=~4x+5$

$y~=~2x-6~e~y~=~\dfrac{4x}{2}+\dfrac{5}{2}$

$y~=~2x-6~e~y~=~2x+\dfrac{5}{2}$

Vejamos que essas rectas admitem mesmo declive 2.

Então conclui-se que as duas rectas são paralelas.

Nota: Duas rectas dizem-se paralelas se e somente se admitem o mesmo declive.

(2) Escrever na forma reduzida a equação da circunferência:

$5x^2+5y^2+40x-10y+55~=~0$

para tal vamos fazer o completamento de quadrados:

$\iff~5\left(x^2+y^2+8x-2y+11\right)~=~0$

$\iff~x^2+8x+y^2-2y~=~-11$

$\iff x^2+8x+\blue{16}+y^2-2y+\red{1}~=~\blue{16}+\red{1}-11$

$\iff \boxed{ \left(x+4\right)^2+\left(y-1\right)^2~=~6 }$

Espero ter ajudado bastante!