Question

1- Estabeleça Os Valores de m para os quais a função f de R em R dada pela lei y=x²-4x+m admita duas raízes reais distintas.

2- Qual o menor inteiro p para o qual a função f, de R em R, dada por f(x)= 4x²+3x+(p+2) não admite raízes reais.

Se puderem fazer só uma agradaceço.

Answer 1

Antes de tudo, temos que recapitular o estudo dos sinais de uma função quadrática em relação ao valor do delta.

Δ > 0 ⇒ duas raízes reais e diferentes.
Δ = 0 ⇒ uma raiz real dupla.
Δ < 0 ⇒ nenhuma raiz real.

1) y = x² - 4x + m
Δ = b² - 4.a.c
Δ = (-4)² - 4.(1).(m)
Δ = 16 - 4m

O problema quer que a função tenha duas raízes reais distintas, logo Δ > 0.

Δ > 0
16 - 4m > 0
16 > 4m
m < 4

S = { m ∈ |R / m < 4} ou seja, vai de (-∞, -4).

2) f(x) = 4x² + 3x + (p + 2)
Δ = b² - 4.a.c
Δ = 9 - 4.(4).(p + 2)
Δ = 9 - 16.(p + 2)
Δ = 9 - 16p - 32
Δ = -23 - 16p

A questão quer que a função não admita raízes reais, logo Δ < 0.

Δ < 0
-23 - 16p < 0
16p > -23
p > -(23/16)

Essa questão está estranha, porque não há como definir o menor número, já que ele estaria tendendo ao infinito negativo.

Creio que seja isso, qualquer dúvida, deixe nos comentários. Espero ter ajudado ^^