Question

1) Escreva a equação 1/x + 1/x+1 = 5/6 na forma reduzida e, sem resolvê-la, determine a forma S e o produto P das raizes dessa equação.

2) Determine a soma e o produto das raízes das duas equações a seguir, sem resolvê-las.
a) x² -4(raiz quadrada de 2x) +3=0
b) x²(raiz quadrada de 2x) -3=0

3) Na equação 4x² -3px +p -4=0, a soma das raizes é igual ao produto dessas raizes. Nessas condições, determine o valor de p.

Answer 1

Questão 1)
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{5}{6}$
Fazendo o mmc do lado esquerdo e desenvolvendo:
$\frac{(x+1) + x}{x(x+1)}= \frac{5}{6}$
$\frac{2x+1}{x^{2} + x} = \frac{5}{6}$
$6(2x+1) = 5( x^{2} +x)$
$12x + 6 = 5 x^{2} + 5x$
Reagrupando, chegamos à forma final:
$5 x^{2} - 7x - 6 = 0$

Pelas relações de Girard, sabemos que a soma e o produto das raízes da equação $a x^{2} +bx+c = 0$ dar-se-ão por:
$S = \frac{-b}{a}$
$P = c/a$
Daí, S = 7/5 e P = -6/5.

Questão 2) Basta usar novamente as relações de Girard.

Questão 3)
$5 x^{2} - 3px + (p-4) = 0$
A soma das raízes é igual ao seu produto, então:
$\frac{-b}{a} = \frac{c}{a}$
-b = c
3p = p - 4
2p = -4
p = -2