Question

1) Entraram em determinada loja 12 clientes na primeira hora de funcionamento, 18, na segunda hora, 24 na terceira hora, e assim por diante. Se a loja ficou aberta durante 8 horas. Assinale a alternativa correta: * 1 ponto

a) Na 5ª hora entraram 42 clientes

b) Ao todo entraram 54 clientes na loja neste dia

c) Até a 5ª hora de funcionamento haviam entrado 120 clientes

d) A sequência de representa a quantidade de clientes em cada hora nesta loja, é um PG de razão 6.

2) Sabendo que o 21º termo de uma PA é 32 e sua razão equivale a 5% do primeiro termo, assinale a alternativa INCORRETA: * 1 ponto

a) O primeiro termo dessa PA é um quadrado perfeito

b) O décimo primeiro termo dessa PA é um número decimal

c) O 44º termo é menor que 550

d) A soma dos 11 primeiros termos dessa PA é 220.

Answer 1

1  c) Até a 5ª hora de funcionamento haviam entrado 120 clientes

2 b) O décimo primeiro termo dessa PA é um número decimal

Vamos analisar cada afirmativa para encontrar a verdadeira:

1 a ) falsa

Na 5ª hora entraram 36 clientes

$a_5=a_1+(n-1)r$

$a_5=12+(5-1)\cdot6$

$a_5=12+4\cdot6$

$a_5=36$

1 b) falsa

se somar as 5 primeiras horas, já vemos que o total ultrapassa 54:

12 + 18 + 24 + 30 + 36 = 120

1 c ) verdadeira

1ª     2ª    3ª    4ª    5ª

12 + 18 + 24 + 30 + 36 = 120

1 d ) falsa

A sequencia é uma Progressão Aritmética (PA) pois  se trata de somas consecutivas com uma mesma razão.

Uma Progressão Geométrica (PG) é resultadode produtos consecutivos

exemplo de PG: $100\cdot2^n \implies 100, 200, 400, 800, 1600,3200,6400, ...$

2) vamos encontrar a equação desta PA

Sabemos que:

$a_{21} = 32$

$r = a_1\cdot5\%= a_1\cdot\dfrac{1}{20}$

Com estes dados, podemos encotrar o valor de $a_1$

$a_{21} = a_1 + (21 -1) r$

$32 = a_1 + (20)\cdot\dfrac{1}{20}\cdot a_1$

$32 = a_1 + a_1$

$32 = 2a_1$

$\bf a_1=16$

E agora podemos encontrar o valor de $r$

$a_{21} = a_1 + (21 -1) r$

$32 = 16 + 20 r$

$16 = 20 r$

$\bf r=0,8$

2 a ) verdadeiro

$a_1 = 16$ é quadrado perfeito

2 b ) falso

$a_{11}= 16+(11-1)\cdot0,8$

$a_{11}= 16+10\cdot0,8$

$a_{11}= 16+8=24$ é número inteiro

2 c) verdadeiro

$a_44 = 16+43\cdot0,8<16+43<550$

Aqui eu usei como artifícil que 43x0,8 < 43 para não precisar calcular o valor exato de 43x0,8.

2 d) verdadeiro

a soma dos 11 primeiro termos será dada pela fórmula

$Soma = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}=\dfrac{(16+24)\cdot11}{2}=(8+12)\cdot11=220$

Answer 2

1) Até a 5ª hora de funcionamento haviam entrado 120 clientes (Alternativa C).

2) O décimo primeiro termo dessa PA é um número decimal (alternativa B).

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As duas questões apresentadas abordam sobre Progressões Aritméticas.  Neste tipo clássico de sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido somando uma constante chamada razão ao termo anterior.

Na linguagem matemática sobre sequências, é comum usar $a_{i}$, com $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ para representar os distintos termos. Se temos uma PA, então vale:

a₂ = a₁ + r

a₃ = a₂ + r          ou        a₃ = a₁ + 2r

a₄ = a₃ + r          ou        a₃ = a₁ + 3r

...

aₙ = a₁ + (n-1)r

Esta última relação é conhecida como fórmula do termo geral de uma P.A. Ela permite encontrar qualquer termo da P.A. dado algum termo e a razão. É o que vamos utilizar para resolver as questões apresentadas.

Vamos às questões:

$\dotfill$

1) Podemos pensar que cada número de clientes que entra na loja é um termo de uma PA. Observe que a diferença entre a primeira hora e segunda é 6 e que também a diferença entre a terceira e segunda também é 6. Desta forma, 6 é a razão da P.A.

Vamos analisar cada alternativa.

a) Na 5ª hora entraram 42 clientes

Falso. De fato,

a₅ = 12 + (5-1)6 = 12 + 24 = 36

b) Ao todo entraram 54 clientes na loja neste dia

Falso. Os oito termos desta P.A. são: 12, 18, 24, 30, 36, 42 , 48 e 54. Fazendo a soma, obtemos 264 clientes.

c) Até a 5ª hora de funcionamento haviam entrado 120 clientes

Verdadeiro. 12 + 18 + 24 + 30 + 36 = 120.

d) A sequência de representa a quantidade de clientes em cada hora nesta loja, é um PG de razão 6.  

Falso. Trata-se de uma P.A.

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2) Seja a₁ o primeiro termo e a₂₁ o vigésimo primeiro. Como a razão equivale a 5% do primeiro termo, podemos escrever:

r = 0,05 . a₁

Usando agora a fórmula do termo geral:

32 = a₁ + (21-1) . 0,05a₁

32 = a₁ + 20 . 0,05a₁

32 = a₁ + a₁

32 = 2a₁

a₁ = 16         e         r = 0,05 . 16 = 0,8

Assim:

a) O primeiro termo dessa PA é um quadrado perfeito

Verdadeiro. Como 4² = 16, 16 é um quadrado perfeito.

b) O décimo primeiro termo dessa PA é um número decimal.

Falso. Usando a fórmula do termo geral:

a₁₁ = 16 + (10)0,8

a₁₁ = 16 + 8

a₁₁ = 24      (Número inteiro)

c) O 44º termo é menor que 550

Verdadeiro. Usando a fórmula do termo geral:

a₄₄ = 16 + (43)0,8

a₁₁ = 16 + 34,4

a₁₁ = 50,4      (Menor que 550)

d) A soma dos 11 primeiros termos dessa PA é 220.

Verdadeiro. Usando a fórmula da soma:

S₁₁ = (a₁ + a₁₁) . n/2 = (16 + 24) . 11/2 = 220

Assim, a única alternativa incorreta é a alternativa B.

$\dotfill$

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