Question

1) determine u.v, sabendo que |u x v|= 12, |u|=13 e |v|=1
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Answer 1

Resposta:

|uxv| = |u||v|senA, (A é o ângulo entre u e v)

12 = 13x1xsenA

senA = 12/1 3

Como pela lei fundamental da trigonometria temos:

sen²A + cos²A = 1

(12/13)² + cos²A = 1

144/169 + cos²A =1

cos²A= 1 - 144/169

cos²A = 1 - 144/169

cos²A = (169 - 144/169

cos²A = 25/169

cosA = √ 25/169

cosA = 5/13

uxv = |u|.|v|,cosA

u.v = 13.1.(5/13)

u.v = 13.5/13

u.v = 65/13 (simplificando por 13)

u.v = 5

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o produto escalar entre os referidos vetores é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{u}\cdot\vec{v} = 5 \:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                $\Large\begin{cases} \parallel \vec{u}\times \vec{v}\parallel = 12\\\parallel \vec{u}\parallel = 13\\\parallel \vec{v}\parallel = 1\\\vec{u}\cdot \vec{v} = \:?\end{cases}$

Sabendo que o produto escalar pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}\cdot \vec{v} = \parallel \vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\cos \theta\end{gathered}$

Onde "θ" é o ângulo entre os vetores, ou seja:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \theta = \textrm{ang}(\vec{u},\vec{v})\end{gathered}$

Sabendo que a identidade fundamental trigonométrica é representada da seguinte forma:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1\end{gathered}$

Isolando "cos θ" no primeiro membro da equação "II", temos:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^{2}\theta}\end{gathered} }$

Sabendo que o ângulo entre dois vetores está sempre definido no seguinte domínio:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0\leq\theta\leq 180^{\circ}\end{gathered}$

Então a medida do ângulo entre os vetores sempre será o valor do arco cosseno positivo, ou seja:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = +\arccos\end{gathered}$

Portanto:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^{2}\theta}\end{gathered} }$

Sabendo que o módulo do produto vetorial pode ser representado pela seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \parallel \vec{u}\times\vec{v}\parallel = \parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel\cdot\sin \theta\end{gathered}$

Isolando o seno de "θ" no primeiro membro da equação "III", temos:

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sin\theta = \frac{\parallel\vec{u}\times\vec{v}\parallel}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel}\end{gathered} }$

Inserindo o valor do seno de "θ" na equação "II", temos:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \cos\theta = \sqrt{1 - \bigg(\frac{\parallel\vec{u}\times\vec{v}\parallel}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel}\bigg)^{2}}\end{gathered} }$

Inserindo o valor do cosseno de "θ" na equação "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{u}\cdot \vec{v} = \parallel \vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel \cdot\sqrt{1 - \bigg(\frac{\parallel\vec{u}\times\vec{v}\parallel}{\parallel\vec{u}\parallel\cdot\parallel\vec{v}\parallel}\bigg)^{2}}\end{gathered} }$

Substituindo os valores dados na equação "IV", temos:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v} = 13\cdot1\cdot\sqrt{1 - \bigg(\frac{12}{13\cdot1}\bigg)^{2}} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 13\cdot\sqrt{1 - \frac{144}{169}}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 13\cdot\sqrt{\frac{169 - 144}{169}}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = 13\cdot\sqrt{\frac{25}{169}}\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = {\!\diagup\!\!\!\!\!\!13}\cdot\frac{5}{\!\diagup\!\!\!\!\!\!13}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 5\end{gathered}$

✅ Portanto, o produto escalar é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{u}\cdot\vec{v} = 5\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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