1-Determine qual é a equação do 2° grau que possui como raízes os números 3 e – 7.
2- Resolva a equação 2x² – 6x – 8 = 0 através da soma e produto
3- Sejam x' e x" as raízes da equação ( n + 1 )x² - ( n + 3 )x + 1 - n = 0. Calcule n, de modo que:
a)Uma das raízes seja 2;
b)A soma das raízes seja 3;
c)O produto das raízes seja 4.
Me ajudem! Quero a explicação também.
Soluções para a tarefa
Resposta:
1) A equação de segundo grau cuja as raízes são 3 e -7 é:
x² + 4x - 21 = 0
2) Resolvendo a equação por soma e produtos obtemos que suas raízes são iguais a 4 e a -1.
3)
a) Para que 2 seja uma das raízes da equação n deverá ser igual a 1;
b) Para que a soma das raízes de 3 n deverá ser igual a 1.
c) Para que o produto das raízes de 4 n deverá ser igual a -3/5.
Explicação passo-a-passo:
1) Para um número ser raiz de uma equação quando substituirmos x por esse número o valor da equação deverá ser igual a zero. Sabemos que a soma das duas raízes de uma equação de segundo grau é igual a -b/a e que o produto das raízes é igual a c/a, onde a é o número que acompanha o x², b o que acompanha o x e c é o termo sem x.
ax² + bx + c = 0, dividindo tudo por a teremos:
x² + xb/a + c/a = 0
Como visto acima, b/a = -(x' + x") e c/a = x'x" . Assim sendo podemos substituir b/a e c/a por:
x² - (x' + x")x + x'x" = 0
O problema nos informa que as raízes da equação devem ser 3 e -7, dessa forma substiruindo x' por 3 e x" por 7 termos:
x² - x(3 - 7) + 3*(-7) = 0
x² - (-4)x - 21 = 0
x² + 4x - 21 = 0
2) Sabendo que a soma das raízes de uma equação deve ser igual a -b/a e que o produto das raízes deverá ser c/a. Para a equação 2x² - 6x - 8 = 0, temos:
a = 2
b = -6
c = -8
Dessa forma podemos escrever que:
x' + x" = - b/a
x' + x" = - (- 6/2)
x' + x" = 3
x'x" = c/a
x'x" = - 8/2
x'x" = - 4
Assim temos as seguintes equação:
x' + x" = 3
x'x" = - 4
Observando um pouco as equações percebendo se x' = 4 e x" = -1, a soma e o produto das raízes da a resposta correta uma vez que:
4 + (-1) = 3
4*(-1) = - 4
Dessa forma as raízes da equação são 4 e - 1.
3)
a) Por soma e produtos temos que:
x' + x" = - b/a
x'x" = c/a
Se chamarmos x' de 2 e x" m, e substiruindo a por (n + 1), b por -(n + 3) e c por (1 - n), vamos encontrar as seguintes expressões para a soma e produto da equação da questão 3):
2 + m = (n + 3)/(n + 1)
2m = (1 - n)/(n + 1)
Multiplicando a primeira equação toda por 2 teremos:
4 + 2m = 2(n + 3)/(n + 1)
Substiruindo o 2m da segunda equação nessa nova, teremos que:
4 + (1 - n)/(n + 1) = 2(n + 3)/(n + 1)
4 = 2(n + 3)/(n + 1) - (1 - n)/(n + 1)
4(n + 1) = 2(n + 3) - (1 - n)
4n + 4 = 2n + 6 - 1 + n
4n + 4 = 3n + 5
4n - 3n = 5 - 4
n = 1
Com isso descobrimos que n devera ser igual a 1 para que 2 seja raiz da equação.
b) Por soma e produto sabemos que:
x' + x" = -b/a
Conhecemos b e a e queremos que x' + x" seja igual a 3 logo:
3 = (n + 3)/(n + 1)
3(n + 1) = n + 3
3n + 3 = n + 3
3n - n = 3 - 3
2n = 0
n = 0
Logo para que a soma das raízes de 3 n deverá ser igual a 1.
c) Por soma e produto temos que:
x'x" = c/a
Conhecemos c e a e queremos que x'x" seja igual a 4 logo:
4 = (1 - n)/(n + 1)
4(n + 1) = (1 - n)
4n + 4 = 1 - n
4n + n = 1 - 4
5n = -3
n = - 3/5
Logo para que o produto das raízes de 4 n deverá ser igual a -3/5.