Question

1) Determine para que valores reais de x a função f(x) = -x^2 + 2x é positiva.


2. Resolva as Inequações em R

a) -x^2 + 1 <0



b) 2x^2 + 3x + 7 ≤ 0



Me ajudem por favor!

Answer 1

1) -x^2+2x>0
x (-2x+2)>0
Ou x e -2x+2 >0 ou x e -2x+2 <0. Perceba que para um produto ser positivo, ou temos negativo vezes negativo ou positivo vezes positivo. Portanto, caso 1 (ambos positivos):
x>0
-2x+2>0
-2x>-2
2x <2
x <1/2
Logo 0<x<1/2

Caso 2:
x<0
-2x+2<0
-2x<-2
2x>2
x>1
Precisaríamos de x <0 e x>1, O q é impossivel. logo, temos apenas 0 <x <1/2

2.a)-x^2+1 <0
-x^2 <-1
x^2>1
x>1 ou x <-1

2.b) Perceba que claramente o polinomio é positivo para x positivo. Fazendo bhaskara para analisar as raízes e então seu comportamento ao redor destas, verá que temos delta negativo. Ou seja, não há raiz para x real, a função nunca é 0. Quer dizer que a função ou é sempre positiva ou sempre negativa. Como já analisamos, É claro perceber que este é positivo para x positivo, logo temos que este polinomio nunca será menor ou igual a 0 para x real.
Perceba que é fácil ver que para x negativo 2x^2 é positivo e 3x é negativo. E para os valores em que 2x^2+3x dá negativo, serão menos que +7