Question

1- Determine o número real positivo cujo quadrado é igual ao seu dobro.2- Uma fábrica de camisetas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada camiseta fabricada custa R$25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, quantas camisetas deverá fabricar e vender mensalmente?3 -Suponha que a empresa Alfa vende apenas um tipo de produto, e que o lucro da empresa édado por L=30x + 250 , sendo x o número de unidades mensal vendida do produto. Acima de qual quantidade mensal vendida, o lucro será superior a R$13.750,00?4 -Maria gastou R$80,00 na compra de laranjas, mas 200 estavam estragadas. Em seguida vendeu cada uma das restantes por R$0,10 a mais do que havia custado, apurando no total R$120,00. Quantas laranjas Maria havia comprado?

Answer 1

Esses problemas entrariam facilmente numa prova do ENEM ou em um concurso público de peso. Me diverti bastante fazendo eles, especialmente o último, que deu um trabalho do infernos por vários erros de cálculo rsrs 
Bom, vamos lá!

1) Pelos dados, a equação para descobrir o valor de x fica assim:
√x = 2x
Vamos nos livrar desse radical fazendo:
(√x)² = (2x)²
x = 4x²
Chegamos nessa função se 2º grau sem o termo c:
4x² - x
Fatorando...
x(4x - 1)
Agora fica fácil achar a raíz:
4x -1
4x = 1
x = 1/4
Aí está o valor de x!
Pelo enunciado o quadro é igual ao seu dobro. Vamos ver se dá certo:
√x = 2x
√1/4 = 2 . 1/4
√1/4 = 2/4
1/2 = 2/4 ... simplificando... 1/2!
Funcionou como mágica!

2) A equação desse problema será:
x(45 - 25) - 5000 = 4000
20x = 4000 + 5000
20x = 9000
x=9000 / 20
x = 450

Resposta: A fábrica precisará vender 450 camisetas.

3) Esse problema é expresso como uma inequação:
30x + 250 > 13750
30x > 13750 - 250
30x >13500
x > 13500 / 30
x > 450

Resposta: A empresa precisará vender mais de 450 unidades mensais para superar o lucro de R$13750.

4) Aqui é um sistema de 2 equações:
Não sabemos duas coisas nesse problema: o preço da laranja e nem quantas foram compradas. Logo, quantidade de laranjas será x, enquanto que y será o preço da laranja.

No enunciado diz que Maria comprou laranjas, e que o total deu 80. Isso forma a 1ª equação:
xy = 80

A outra equação é formada com as informações de que a Maria perdeu 200 laranjas por estarem estragadas e vendeu o restante por R$0,10 a mais do que havia pago em cada laranja, ficando com um total de R$120, então a equação fica assim:
(x-200) (y+0,10) = 120
Multiplicando esses dois termos...
xy + 0,10x -200y - 20 = 120
Opa, aconteceu algo aqui!
Esse xy pode ser substituído, pois já sabemos na outra equação que xy é 80, então, vamos substituir esse valor e continuar a desenvolver a equação:
80 + 0,10x - 200y - 20 = 120
0,10x - 200y = 120 - 80 + 20
0,10x - 200y = 60


Agora sim podemos resolver as duas equações:
xy = 80
0,10x - 200y = 60

Esse xy =80 não tá legal assim, vamos mexer nele e transformar nisso:
x - 80/y = 0

Resolvendo o sistema agora:
x - 80/y = 0
0,10x - 200y = 60

x - 80/y = 0 . (-0,10)
0,10x - 200y = 60

-0,10x +8/y = 0
0,10x - 200y = 60

Anulando x e somando os outros termos, chegamos em:
-200y + 8/y = 60

Brincando com os denominadores...
-200y²/y + 8/y = 60y/y

Anulando os denominadores...
-200y² + 8 = 60y

Arrumando os termos...
-200y² -60y + 8
Chegamos numa função de 2º grau, infelizmente. Bom, não tem o que fazer, vamos encontrar as raízes de y:

Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (-60)² - 4 . -200 . 8
Δ = 3600 + 6400
Δ = 10000

-b + √Δ / 2 . a
-(-60) + √10000 / 2 . (-200)
60 + 100 / -400
160 / -400 = - 0,4

Deu uma raíz negativa, mas isso não nos interessa, pois estamos lidando com o valor de y, e o valor de y é o preço da laranja. Não existe valor de produto que seja negativo, então, vamos ver a outra raíz:

-b - √Δ / 2 . a
-(-60) - √10000 / 2 . (-200)
60 - 100 / -400
-40 / -400 = 0,1

Bingo! Esse é o valor da laranja, R$0,10

Agora podemos descobrir quantas laranjas Maria comprou:
xy = 80
x . 0,10 = 80
x = 80 / 0,10
x = 800

Resposta: Maria havia comprado 800 laranjas.