1. Determine as raízes da equação.
a) 2x - 3x - 5 = 0
b) 3x2 - 7x + 4 = 0
c) 5x2 + 3x + 5 = 0
d) 2x2 + 8x - 24 = 0
Soluções para a tarefa
Resposta:
1. Determine as raízes da equação.
a) 2x² - 3x - 5 = 0
b) 3x² - 7x + 4 = 0
c) 5x² + 3x + 5 = 0
d) 2x² + 8x - 24 = 0
a) 2x² - 3x - 5 = 0
Coeficientes ► a = 2, b = - 3, c = - 5
Discriminante:
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (- 3)² - 4.2.(- 5)
∆ = 9 + 40
∆ = 49
∆ > 0 , ah duas raízes reais
x = - b ± √∆
2.a
x = - (-3) ± √49
2.2
x = 3 ± 7
4
x' = 3 + 7/4 = 10/4 = 5/2
x" = 3 - 7/4 = - 4/4 = - 1
S = {- 1, 5/2}
b) 3x² - 7x + 4 = 0
Coeficientes ► a = 3, b = - 7, c = 4
Discriminante:
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (- 7)² - 4.3.4
∆ = 49 - 48
∆ = 1
∆ > 0 , ah duas raízes reais
x = - b ± √∆
2.a
x = - (-7) ± √1
2.3
x = 7 ± 1
6
x' = 7 + 1/6 = 8/6 = 4/3
x" = 7 - 1/6 = 6/6 = 1
S = {1, 4/3}
c) 5x² + 3x + 5 = 0
Coeficientes ► a = 5, b = 3, c = 5
Discriminante:
∆ = b² - 4.a.c
∆ = 3² - 4.5.5
∆ = 9 - 100
∆ = - 91
∆ < 0 , não existem raízes reais.
Quando o discriminante (∆) de uma função quadrática é um valor negativo, nenhuma das duas raízes desta função é um número real.
d) 2x² + 8x - 24 = 0
Coeficientes ► a = 2, b = 8, c = -24
Discriminante:
∆ = b² - 4.a.c
∆ = 8² - 4.2.(-24)
∆ = 64 +192
∆ = 256
∆ > 0 , ah duas raízes reais
x = - b ± √∆
2.a
x = - (8) ± √256
2.2
x = -8 ± 16
4
x' = -8 + 16/4 = 8/4 = 2
x" = -8 - 16/4 = -24/4 = -6
S = {-6, 2}
Explicação:
A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para equações do segundo grau que permite determinar as soluções desse tipo de equação a partir de seus coeficientes. De posse desses coeficientes, basta substituí-los na fórmula de Bhaskara e realizar as operações matemáticas indicadas por ela para encontrar os valores de x da equação.
O que é uma equação do segundo grau?
Equações do segundo grau são equações definidas por polinômios de grau 2. Isso significa que, entre todas as incógnitas desse polinômio, pelo menos uma será elevada ao quadrado. Toda equação do segundo grau, em sua forma normal, estará escrita da seguinte maneira:
Equação normal do segundo grau = ax² + bx + c = 0
As letras “a”, “b” e “c” representam números conhecidos na equação.
Esses números são seus coeficientes.
Na equação do segundo grau 2x² – 5x + 7 = 0, por exemplo, a = 2, b = – 5 e c = 7
O método resolutivo de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara foi criada a partir do método de completar quadrados.
Seguindo esse método para os coeficientes genéricos “a”, “b” e “c”, obtém-se a seguinte expressão:
X = - b ± √b² - 4.a.c
2.a
Contudo, por questões didáticas, essa fórmula é ensinada em duas etapas:
FÓRMULA do DISCRIMINANTE (∆ = b² - 4.a.c) e
FÓRMULA de BHASKARA x = - b ± √∆
2.a
Quando ∆ > 0, o valor resultante da raiz quadrada é real e POSITIVO possibilita determinar duas raízes com valores diferentes.
Quando ∆ = 0, o valor resultante da raiz quadrada também é ZERO possibilita eliminar a raiz quadrada da fórmula. Desta maneira, não há como obter dois valores diferentes para as raízes.
Quando ∆ < 0, chega-se a uma raiz quadrada de número NEGATIVO, que não pode ser resolvida no conjunto dos números reais. Desta forma, não existem raízes reais, por isso não é necessário calculá-las (pelo menos não no nível médio).