Question

1) Determine a equação da hipérbole com focos F1 ( -10, 0 ) e F2 ( 10, 0 ) e eixo real medindo 16 unidades. 2) Qual é a equação da parábola de foco no ponto F ( 3, 0 ) e vértice na origem. 3) Encontre as raízes complexas da equação a seguir: a) x² - 10x + 34 = 0

Answer 1

Resposta:

x² y²

_ _. =1

64. 36

E tipo isso explicação Google class rom

Answer 2

Utilizando diversas formulações e tecnicas de geometria analitica, temos que:

• 1) x²/64 - y²/36 = 1
• 2) y = x²/6
• 3) 5 - 3i e 5 + 3i

Explicação passo-a-passo:

1)

Para resolver esta questão vamos primeiramente decorrer sobre a forma geral das equações de hiperbole, cuja representação em formula é dada por:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Note que esta é a formula para quando os focos estão em x e não em y, o que é exatamente o nosso caso, pois nossos focos são F1 = ( -10 , 0 ) e F2 = ( 10 , 0 ), ou seja, possuem coordenadas omente em x.

Dados estes valores, na equação 'a' representa o valor do semi-eixo real e 'b' representa o valor do semi-eixo imaginário, e quando digo 'semi' quero dizer metade, sendo assim, '2a' seria o valor do eixo real (que no nosso caso vale 16 unidades) e '2b' seria o valor do eixo imaginario.

Assim por enquanto sabemos o valor do eixo real, então sabemos o valor de seu semi-eixo:

$2a = 16 \quad \rightarrow \quad a = 8$

Porém o que importa para nós agora é a relação destes semi-eixos com a chamada semi-distância focal 'c', pois estes se relacionam da forma:

c² = a² + b²

E também sabemos o valor de 'c', pois os focos de um hiperbola são dados pelas coordenadas:

F1 = ( - c , 0 )

F2 = ( c , 0 )

Ou seja, fica claro para nós que nossa semi-distância focal 'c' vale 10. Sendo assim podemos descobrir 'b' com a equação acima:

c² = a² + b²

10² = 8² + b²

100 = 64 + b²

b² = 100 - 64

b² = 36

b = 6

Assim sabemos o valor de 'a' e 'b' e com estes podemos substituir na equação geral da hiperbola e descobrir esta:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$\frac{x^2}{8^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$

$\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

E eassim temos que nossa equação geral é dada por x²/64 - y²/36 = 1.

2)

Quando temos uma equação com foco 'F' e vertice 'V', temos também uma distância entre este foco e este vertice, que chamamos de 'p'.

No nosso caso os nossos pontos de foco e vertice são dados por:

F = ( 3 , 0 )

V = ( 0 , 0 )

A distância entre dois pontos quaisquer ( x1 , y1 ) e ( x2 , y2 ) num plano cartesiano é facilmente calculada pela formula:

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Assim substituindo os valores de 'F' e 'V' nesta equação, podemos descobrir a distância 'p' entre eles, da forma:

$p=\sqrt{(3-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{9}=3$

Assim sabemos que a distância entre eles vale p = 3.

Quando temos o valor de 'p', qualquer equação de parabola pode ser escrita da forma:

$y=\frac{x^2}{2p}$

Assim fica simples de resolver, simplesmente substituindo 'p' na equação e achando a formula:

$y=\frac{x^2}{2p}$

$y=\frac{x^2}{2.3}$

$y=\frac{x^2}{6}$

Assim temos que a equação desta parabola é dada por y = x²/6.

3)

Então nos foi dada a seguinte equação de segundo grau:

x² - 10x + 34 = 0

Sabemos que equações de segundo grau tem um formalismo geral da forma:

a . x² + b . x + c = 0

Assim comparando este formato com a nossa equação, sabemos que para nós os coeficientes são:

a = 1

b = - 10

c = 34

E usando estes mais a formula de Bhaskara para encontrar as raízes, poderemos descobrir estes resultados.

Primeiramente o famoso Delta de Bhaskara:

Δ = b² - 4 . a . c

Substituindo os nosso valores, temos:

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-10)² - 4 . 1 . 34

Δ = 100 - 136

Δ = - 36

Agora usando este delta podemos descobrir as raízes por meio da formula:

x = ( - b ± √Δ) / 2a

Novamente substituindo nossas valores, temos:

x = ( - ( - 10) ± √-36) / 2

Separando a raíz de -36 em raíz de -1 vezes raíz de 36, ficaremos com:

x = ( 10 ± √(-36) ) / 2

x = ( 10 ± √(-1 . 36) ) / 2

x = ( 10 ± √-1 . √36) / 2

x = ( 10 ± √-1 . 6) / 2

E como chamamos raíz de -1 de 'i', ficamos com:

x = ( 10 ± 6i) / 2

Agora dividindo os dois termos do numerador pelo 2 do denominador, ficamos com:

x = 5 ± 3i

E com isso temos as duas soluções de x:

x' = 5 - 3i

x" = 5 + 3i

E estas são a raízes complexas da equação: 5-3i e 5+3i.

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