Question

1 - Desenvolvendo-se o binômio abaixo, qual será soma dos seus coeficientes ? * (4x+2)⁵ a) 6 b) 5 c) 7776 d) 7677

Answer 1

Letra C

Ao resolver o binômio, nós encontramos:

$1024x {}^{6} + 2560x {}^{5} + 2560x {}^{4} + 1080x {}^{3} + \\ 320 {}^{2} + 32 = 7776$

Answer 2

A soma dos seus coeficientes será 7776 (Alternativa C).

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Os coeficientes do desenvolvimento de um binômio de newton podem ser encontrados usando o triângulo de Pascal. Em resumo, este é um triângulo aritmético infinito onde, além de prover os coeficientes das expansões binominais, os números que o compõem apresentam diversas propriedades e relações.

Para resolver a questão, observe o triângulo em anexo. Procurando os coeficientes de um binômio elevado à quinta potência, basta consultar a linha 5 do triângulo. Observe que inicia-se da linha zero.

Desse modo, os coeficientes são: 1 , 5 , 10, 10, 5 e 1.

Aplicando agora o desenvolvimento:

(4x + 2)⁵ = 1 . (4x)⁵ . 2⁰ + 5 .  (4x)⁴ . 2¹ + 10 . (4x)³ . 2² + 10 (4x)² . 2³ + 5 . (4x)¹ . 2⁴ + 1 . (4x)⁰ . 2⁵

(4x + 2)⁵ = 1024 x⁵  + 2560x⁴ + 2560x³ + 1280x² + 320x + 32

Logo,

1024 + 2560+ 2560 + 1280 + 320 + 32 = 7776 (Alternativa C)

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