Question

1) Derivada de f(x)= 5x^3/2x^2+3x
2)Em cada caso abaixo, encontre f’(x) , para o valor de x indicado.
a) f(x)=x^2tg(x) x=π/4
b) f(x)=senx / 1-cosx x=π/6

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x}$

Para encontrar a derivada dessa função, usaremos a regra do quociente, dada por:

$\sf \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f '.g - f.g'}{g {}^{2} }$

Interpretando a função que possuímos, como duas funções, uma abaixo da outra, temos então que:

$\sf f = 5x {}^{3} \\ \sf g = 2x {}^{2} + 3x$

Substituindo esses dados na regra:

$\sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{(5x {}^{3}) '.2x {}^{2} + 3x - 5x {}^{3} .(2x {}^{2} + 3x)'}{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{3.5 {x}^{3 - 1} .(2x {}^{2} + 3x) - 5x {}^{3} .(2.2 {x}^{2 - 1} + 1.3x {}^{1 - 1} ) }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{15x {}^{2} .(2x {}^{2} + 3x) - 5x {}^{3}.(4x + 3) }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{30x {}^{4} + 45x {}^{3} - 20 {x}^{4} - 15x {}^{3} }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{5x {}^{3} }{2x {}^{2} + 3x } \right)' = \frac{ 10x {}^{4} + 30 {x}^{3} }{(2x {}^{2} + 3x) {}^{2} }$

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = x {}^{2} .tan(x)$

Se você observar nessa função, possuímos um produto entre x² e tan(x), ou seja, podemos usar a regra do produto, dada por:

$\sf (f.g)' = f'.g + f.g'$

Considerando que:

$\sf f = x {}^{2} \\ \sf g = tan(x)$

Vamos substituir esses dados na regra:

$\sf (f.g)' = f'.g + f.g' \\ \sf (x {}^{2} .tan(x))' = (x {}^{2} )'.tan(x) + x {}^{2} .(tan(x))' \\ \sf \sf (x {}^{2} .tan(x))' = 2.x {}^{2 - 1} .tan(x) + x {}^{2} .sec {}^{2} (x) \\ \sf \sf (x {}^{2} .tan(x))' = 2x.tan(x) + x {}^{2} sec {}^{2}(x)$

A questão fala que x = π/4, então vamos substituir esse valor na incógnita x:

$\sf (x {}^{2} .tan(x))' = 2x.tan(x) + x {}^{2} sec {}^{2}(x) \\ \\ \sf 2. \left( \frac{\pi}{4} \right)tan \left( \frac{\pi}{4} \right) + \left( \frac{\pi}{4} \right) {}^{2} . \left( \frac{2}{ \sqrt{2} } \right ) {}^{2} \\ \\ \sf \frac{2\pi}{4} .1 + \frac{\pi {}^{2} }{16} . \frac{4}{2} = \sf \frac{2\pi}{4} + \frac{4\pi {}^{2} }{32} = \boxed{\sf \frac{\pi}{2} + \frac{\pi {}^{2} }{8} }$

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = \frac{sen(x)}{1 - cos(x)}$

Para derivar essa função, vamos usar a mesma regra da primeira questão, ou seja, a regra do quociente:

$\sf\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'.g - f.g'}{g {}^{2} }$

Considerando que:

$\sf f = sen(x) \\ \sf g = 1 - cos(x)</p><p>$

Aplicando os dados na regra:

$\sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{[sen(x)] '.[1 - cos(x)] - sen(x).[1 - cos(x)]' }{[1 - cos(x)] {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{cos(x).x '. [1 - cos(x)] - sen(x).[0 + sen(x)]}{ [1 - cos(x)] {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{cos(x). [1 - cos(x)] - sen(x).sen(x) }{[1 - cos(x)] {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{cos(x) - cos {}^{2}(x) - sen {}^{2} (x) }{ [1 - cos(x)] {}^{2} } \\ \\ \sf\left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{cos( x) - (1).[cos(x) {}^{2} + sen {}^{2} (x)]}{[1 - cos(x)] {}^{2} }$

Através da relação fundamental da trigonometria, sabemos que:

$\sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} x = 1$

Então vamos substituir esse valor no local dessa expressão:

$\sf\left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{cos(x) - 1.(1)}{[1 - cos (x)] {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{cos(x) - 1}{ [ 1 - cos(x)] {}^{2} } \\ \\ \sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{( - 1). \cancel{[1 - cos(x)]}}{[1 - cos(x) ]. \cancel{[1 - cos(x)]}} \\ \\ \boxed{\sf \left( \frac{ sen(x)}{1 - cos(x)} \right)' = \frac{ -1}{1 - cos(x)} }$

Agora é só substituir o valor de (x) nessa expressão resultante:

$\sf \frac{ - 1}{1 - cos(x)} = \frac{ - 1}{1 - cos( \frac{\pi}{6} )} = \frac{ - 1}{1 - cos(30 {}^{ \circ}) } = \\ \\ \sf \frac{ - 1}{1 - \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{ - 1}{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} } = \frac{ - 1}{1} . \frac{2}{2 - \sqrt{3} } = \frac{ - 2}{2 - \sqrt{3} } = \\ \\ \sf \frac{ - 2}{2 - \sqrt{3} } . \frac{2 + \sqrt{3} }{2 + \sqrt{3} } = \frac{ - 4 - 2 \sqrt{3} }{4 - 3} = \frac{ - 4 - 2 \sqrt{3} }{1} = \boxed{\sf - 4 - 2 \sqrt{3} }$

Espero ter ajudado