Question

1 - Dados log 2 = x e log 3 = y, determine log 16.
2 - Determine o número de vértices, de arestas e de faces dos poliedros convexos que possuem apenas 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais.
(Com explicação da solução dos dois exercícios)

Answer 1

Resposta:

1) 4x

2) Há, então, nesse poliedro convexo, 60 vértices, 90 arestas e 32 faces.

Explicação passo-a-passo:

1) Perceba que 16 = 2 . 2 . 2 . 2

Logo,

log16 = log (2.2.2.2)

Há uma propriedade logarítmica que diz que o logarítmo de uma multiplicação é, na verdade, a soma dos logarítmos de cada elemento dessa multiplicação. Sendo assim:

log (2.2.2.2) = log2 + log2 + log2 + log2 = 4 . log2

A questão disse que log2 = x, portanto:

4 . log2 = 4 x

2) O número de faces já está explícito na questão. Basta somar: 20 + 12 = 32 faces

Há um "macete" para descobrir o número de arestas de um polígono convexo:

Multiplica-se o número de faces de cada tipo pela quantidade de vértices que esse tipo possui, soma-se tudo e depois divide-se por dois o resultado final. Demonstrando:

Há 12 faces pentagonais, cada uma com 5 vértices por se tratar de um pentágono. 12 × 5 = 60

Há 20 faces hexagonais, cada uma com 6 vértices. 20 × 6 = 120

60+120/2 = 180/2 = 90 arestas no total

Para descobrir o número de vértices, usamos a relação de Euler:

V - A + F = 2

V - 90 + 32 = 2

V = 90 - 32 + 2

V = 60 vértices

Há, então, nesse poliedro convexo, 60 vértices, 90 arestas e 32 faces.

Espero ter ajudado. Quaisquer dúvidas, deixe abaixo nos comentários. Abraço!