Question

1) Dada uma função do 2o grau, tal que f(0) = -3, f(2) = -4 e f(4) = 5, determine a função e
calcule f(1).

2) Dada a função de segundo grau f(x) = x2 + 2x - 8, determine:
a) zero da função
b) f(-2)
c) f(8)
d) Plote, manualmente, a função dada.
com calculos.

Answer 1

Resposta:

1 )

$f (x) =\dfrac{5}{4}*x^2-3x-3$

f (1 ) = - 19/4

2 )

a ) S = { - 4 ; 2 }         b ) f ( - 2 ) = - 8         c) f (8) = 72         d)  em anexo

Explicação passo a passo:  

1 )

Observação 1 → Qual a forma de uma função completa do 2º grau?

É  f (x) = ax² + bx + c

Precisamos primeiro de descobrir os valores de a ; b ; c

Dados:

f (0) = - 3

f (2) = - 4

f (4) = 5

Pedidos:

f (x) = ?

f ( 1 ) = ?

f (0) = a * 0² + b * 0 + c

f (0) = c

mas f (0) = - 3

logo

c = - 3

Para já a função f(x) está na seguinte forma

ax² + bx - 3

Temos duas incógnitas: o "a" e o "b".

Com a informação restante vamos montar um sistema de duas equações

com duas incógnitas

f ( 2 ) = a * 2² + b * 2 - 3

f ( 2 ) = 4a + 2b - 3

como f (2 ) = -4

temos a primeira equação

4a + 2b - 3 = - 4

Vou à procurar da outra equação

f (4) = 5

f (4) = a * 4² + b * 4 - 3

f (4) = 16a + 4b - 3

16a + 4b - 3 = 5

Montar o sistema

{ 4a + 2b - 3 = - 4

{ 16a + 4b - 3 = 5

Simplificar o sistema

{ 4a + 2b = - 4 + 3

{ 16a + 4b = 5 + 3

⇔

{ 4a + 2b = - 1

{ 16a + 4b = 8

⇔

Vou resolver o sistema usando o Método da Adição Ordenada

A primeira equação vai ser multiplicada por " -  2 "

{ ( - 2 ) * 4a + (- 2 ) * 2b = - 2 * (- 1 )

{ 16a + 4b = 8

⇔

{ - 8a  - 4b  = 2

{   16a + 4b = 8  soma ordenada

   8a + 0 = 10 ⇔ a = 10/8 ⇔ a = 5/4

⇔

{ 4 * 5/4 + 2b = - 1

{ a = 5/4

⇔

{ 20/4 + 2b = - 1

{ a = 5/4

⇔

{ 5 + 2b = - 1

{ a = 5/4

⇔

{ 2b = - 1 - 5

{ a = 5/4

⇔

{ 2b = - 6        

{ a = 5/4

⇔

{ b = - 6/ 2        

{ a = 5/4

⇔

{ b = - 3      

{ a = 5/4  

A função do segundo grau é

$f (x) =\dfrac{5}{4}*x^2-3x-3$

$f (1) =\dfrac{5}{4}*1^2-3*1-3=\dfrac{5}{4} -3-3=\dfrac{5}{4} -6=\dfrac{5}{4} -\dfrac{6}{1}=\dfrac{5}{4} -\dfrac{6*4}{1*4}$

$\dfrac{5}{4} -\dfrac{24}{4}=\dfrac{5-24}{4} = \dfrac{-19}{4}=-\dfrac{19}{4}$

2 )

f (x) = x² + 2x - 8

a)

Igualar a função a zero.

x² + 2x - 8 = 0

Usar a Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / ( 2 * a )             Δ = b² - 4 * a * c           a ≠ 0

a =  1

b = 2

c = - 8

Δ = 2² - 4 * 1 * ( - 8 ) = 4 + 32 = 36

√Δ = √36 = 6

x1 = ( - 2 + 6 ) / (2*1 )

x1 = 4/2

x1 = 2

x2 = ( - 2 - 6 ) / (2*1 )

x2 = - 8 / 2

x2 = - 4

S = { - 4 ; 2 }

b )

f ( - 2 ) = 2² + 2* (- 2 ) - 8 = 4 - 4 - 8 =  4 - 12 = - 8

Assim conhecemos o ponto A ( - 2 ; - 8 )

c )

f (8) = 8² + 2 * 8 - 8 = 64 + 16 - 8 = 80 - 8 = 72

Assim conhecemos o ponto B ( 8 ; 72 )

d )

Para plotar o gráfico de uma função do 2º necessitamos de:

→ os pontos aonde estão os zeros

R1 ( - 4 ; 0 )     e   R2 = ( 2 ; 0 )

→ o ponto de interseção com eixo do y

Para determinar esse ponto calcula-se o valor da função para x = 0

f (0) = 0² + 2 * 0 - 8

f (0) = - 8

IY ( 0 ; - 8 )

→ o vértice  

Usa-se a fórmula

V ( - b/2a ; - Δ/4a )

V ( - 2 /(2*1) ; - 36/ ( 4 * 1 )  

V ( - 1 ; - 9 )

→ outros dois pontos , para perceber por onde irá o gráfico

f ( - 7 ) = 7² + 2 * (-7) - 8 = 49 - 14 - 8 = 49 - 22 = 27

f ( 5 ) = 5² + 2 * 5 - 8 = 25 + 10 - 8 = 35 - 8 = 27

A ( - 7 ; 27 )  e B ( 5 ; 27  )

Ver gráfico em anexo.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão      ( ≠ ) diferente de

( R1 e R2 )  raízes da equação da alínea 2)

( ⇔ )  equivalente a  

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.