Question

1 - Dada a função f(x)=Ix²-5x+4I, determine o valor de função para x = 4. * 1 ponto a) 0 b) -10 c) 10 d) -9 e) -8 2 - Determine os valores reais de t para ft=5 considerando função f(t)=It²-4I. * 1 ponto a) 4 b) 3 e -3 c) -8 e 8 d) -9 e 9 e) 0

Answer 1

 alternativa "a" = 0

bons estudos

Answer 2

Utilizando definições de modulo, função modular e condições para positividade, temos que nossas soluções são:

1) 0, letra A.

2) 3 e -3, letra B.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos definir o efeito de um modulo em uma função, da forma:

$f(x)= |x|$

Isto é o mesmo que dizer que:

$f(x)= x \quad se \quad x \geq 0$

$f(x)= -x \quad se \quad x < 0$

Ou seja, o modulo faz com que o valor dentro deste sempre tenha resultado final positivo, dividindo ele em dois pedaços, uma para quando seu interior é positivo e outro negativo.

Sabendo disso vamos as questões:

1)

Temos a função modular dada por:

$f(x) = |x^2-5x+4|$

E queremos saber seu resultado quando esta tem x = 4, assim para isto é facil resolver, basta substituir x por 4 na função e encontrarmos o seu resultado:

$f(x) = |x^2-5x+4|$

$f(x) = |4^2-5.4+4|$

$f(x) = |16-20+4|$

$f(x) = |0|$

Como modulo de valor nulo é nulo, então:

$f(x) = 0$

Assim temos que esta função em x = 4 tem valor de 0, letra a).

2)

Semelhantemente a questão anterior, temos a função modular dada por:

$f(t) = |t^2-4|$

Porém neste caso, ao invês de saber o valor de t para substiuir, nós sabemos na verdade é o valor de f(t) que é igual a 5. Assim basta substituirmos o f(t) por 5:

$5 = |t^2-4|$

Neste ponto para resolvermos esta função, temos que separa-la em duas condições, uma para quando o interior é positivo e outra para o interio negativo:

Quando t² - 4 > 0:

Nestes casos a função não muda nada, pois o interior já é positivo, assim:

$5 = t^2-4$

Basta resolvermos agora:

$t^2 = 5+4$

$t^2 = 9$

$t = \pm\sqrt{9}$

$t = \pm 3$

Assim temos duas soluções para este caso:

$t_1 = - 3$

$t_2 = 3$

Mas ainda não acabamos com este, pois precisamos verificar se estas duas soluções são validas, para isto devemos substituir elas dentro da nossa condição que é t² - 4 > 0, se os resultado for realmente maior que 0, então a solução é valida, caso contrário iremos descarta-la:

$t^2-4 > 0$

$(-3)^2-4 > 0$

$9-4 > 0$

$5 > 0$

Assim como 5 é de fato maior que 0, então a solução t = -3 é uma solução valida. Agora para t = 3:

$t^2-4 > 0$

$(3)^2-4 > 0$

$9-4 > 0$

$5 > 0$

Da mesma forma, temos que t = 3, também é uma solução valida.

Quando t² - 4 > 0:

Quando o interior de um modulo é negativo, este tem todos os seus sinais invertidos para compensar o negativo e ficar tudo positivo, então nossa função fica:

$5 = -t^2+4$

E agora basta resolvermos novamente:

$5 = -t^2+4$

$-t^2=5-4$

$-t^2=1$

$t^2=-1$

$t=\pm\sqrt{-1}$

E assim chegamos que as soluções para este caso são raízes de números negativos, que não possuem soluções reais, ou seja, não temos soluções para este caso.

Resposta Final:

Assim ficamos que somente as soluções t = -3 e t = 3 são soluções para esta fnção em f(t) = 5. Letra b).

Se tiver interesse em mais problemas com funções modulares, recomendo acessar:

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