Question

1)Considereafunçãof(x)=–2x2 +4x+6.Determine:
a) Os valores de a, b e c.
b) O valor do delta (ou discriminante) desta função.
c) Se esta função é côncava para cima ou côncava para baixo, justificando.
d) O vértice dessa função através de cálculos.
e) Se esta função tem um valor máximo ou valor mínimo. Qual é este valor? Por quê?
f) O número de raízes desta função. Por quê?
g) O ponto da intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas.
h) Se existirem, os pontos de intersecções do gráfico com o eixo das abscissas.
i) A imagem desta função.
j) O eixo de simetria desta função.
k) A soma S e o produto P das raízes desta função.
l) Os intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente:
m) O gráfico desta função. Pode ser print do Geogebra ou à mão livre.
n) A forma fatorada da função y.

Answer 1

Dada a função

F(X) = - 2X² + 4X + 6

a) Os valores de a, b e c.

a = - 2

b = 4

c = 6

b) O valor do delta (ou discriminante) desta função.

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 4² - 4 . (-2) . 6

Δ = 16 + 48

Δ = 64

c) Se esta função é côncava para cima ou côncava para baixo, justificando.

como a < 0, entao temos concavidade voltada para baixo

d) O vértice dessa função através de cálculos.

Xv = -b/2a ⇒ Xv = - 4/2.(- 2) ⇒ Xv = - 4/(- 4) ⇒ Xv = 1

Yv = -Δ/4a ⇒ Yv = -64/4.(- 2) ⇒ Yv = -64/(-8) ⇒ Yv = 8

e) Se esta função tem um valor máximo ou valor mínimo. Qual é este valor? Por quê?

Como a < 0, concavidade voltada para baixo, entao só há maximo. Este é a coordenada do vertice, já calculado acima: (1; 8)

f) O número de raízes desta função. Por quê?

As raizes ocorrem em F(X) = 0, entao

- 2X² + 4X + 6 = 0   ja vimos acima que Δ = 64

X' = (-4 + √64)/2.(-2)     X'' = (-4 - √64)/2.(-2)

X' = 4 /(-4)                     X'' = - 12 /(- 4)

X' = - 1                            X'' = 3

g) O ponto da intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas.

Isso ocorre no valor de c....

como c = 6, entao esse ponto é (0; 6)

h) Se existirem, os pontos de intersecções do gráfico com o eixo das abscissas.

Isso ocorre nas raizes, logo

(- 1; 0) e (3; 0)

i) A imagem desta função.

Im = {X ∈ ℝ / X ≤ 8}

(do vertice para baixo)

j) O eixo de simetria desta função.

vertice está em X = 1, logo

X = 1

k) A soma S e o produto P das raízes desta função.

S = -b/a ⇒ S = - 4/(- 2) ⇒ S = - 4/(- 2) ⇒ S = 2

P = c/a ⇒ P = 6/(- 2) ⇒ P = - 3

l) Os intervalos onde a função é crescente e onde a função é decrescente:

cresente: ] - ∞ ; 1 [

decresente: ] 1; + ∞ [

m) O gráfico desta função. Pode ser print do Geogebra ou à mão livre.

em anexo

n) A forma fatorada da função y.

(X - X').(X - X'')

como as raizes sao  -1 e 3

(X + 1).(X - 3)