Question

1 ) Considere os vértices do triângulo ABC, sendo A(-1,-2), B(0,4) e C(-3,-3).
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Determine a equação da reta perpendicular que passa pelo ponto médio do
segmento AB .
c) Determine o baricentro do triângulo ABC.

Answer 1

Resposta:

a) 5,5 u.a.

b) y = - 1/6 x + 11/12

c)  $( -\frac{4}{3} ; -\frac{1}{3} )$

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Considere os vértices do triângulo ABC, sendo A ( - 1 , - 2 ), B ( 0 , 4 ) e

C ( - 3 , - 3 ).

a) Calcule a área do triângulo ABC.

b) Determine a equação da reta perpendicular que passa pelo ponto médio

do segmento AB .

c) Determine o baricentro do triângulo ABC.

Resolução:

a) a) Calcule a área do triângulo ABC.

Há uma maneira bastante direta de calcular essa área.

Área = 1/2 | determinante |

( lê-se que a área é igual a metade do módulo de um determinante de uma matriz )

A matriz forma-se com as coordenadas dos 3 vértices

$\left[\begin{array}{ccc}-1&-2&1\\0&4&1\\-3&-3&1\end{array}\right]$    

Na primeira coluna ficam as coordenadas em x de cada um dos pontos.

Na segunda coluna ficam as coordenadas em y dos vértices.

A terceira coluna fica preenchida com o valor 1

Para  calcular o determinante da matriz, copiam-se as duas primeiras coluna e colocam-se à direita da matriz

- 1   - 2     1 |  - 1   - 2

0     4     1  |   0    4

- 3   - 3    1  | - 3  - 3

Calcule-se

- 1     º    º  |   º   º

 º     4  º  |    º   º

 º      º    1  |  º   º

Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ...

 º  - 2    º  |    º     º

 º    º     1  |    º     º

 º    º     º  |  - 3    º

º    º    1  |    º      º

º    º   º   |    0     º

º    º   º   |    º   - 3

Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + (1 * 0 * ( - 3 ))

 º    º    1  |    º    º

 º    4    º  |    º    º

- 3   º    º   |    º     º

Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + ( 1 *0 * 3 ) - ( 1 * 4 * ( - 3 )) -

 º    º      º  |  - 1    º

 º    º      1  |    º     º

 º  - 3      º  |    º     º

Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + ( 1 *0 * 3 ) - ( 1 * 4 * ( - 3 )) - ( -1 * 1 * (-3)) - ...

 º    º      º  |    º    2

 º    º      º  |    0    º

 º    º    1   |    º      º

Det. = ( - 1 * 4 * 1 ) + ( - 2 * 1 * ( - 3 ) ) + ( 1 *0 * 3 ) - ( 1 * 4 * ( - 3 )) - ( - 1 * 1 * (- 3)) -

- ( 2 * 0 * 1 )

 Det = - 4 + 6 + 0 + 12 - 3 - 0  = 11

 Determinante = 11

Área = 1/2 * | determinante |

Área = 1/2 * | 11 |

Área =1/2 * 11 = 5,5 u.a.

b) Equação da reta perpendicular que passa pelo ponto médio do

segmento AB

Trata-se de calcular a mediatriz de [ AB ]

Sendo :

x1 - coordenada em x de A

y1 - coordenada em y de A

x2 - coordenada em x de B

y2 - coordenada em y de B

A equação da mediatriz

( x - x1 )² + ( y - y1 )² = ( x - x2 )² + ( y - y2)

( x - ( - 1) )² + ( y - (- 2 ) )² = ( x - 0 )² + ( y - 4)²

( x + 1 )² + ( y + 2 )² = x² + ( y - 4)²

Temos em cada membro que desenvolver Produtos  Notáveis

São ou Quadrado da Diferença  ou Quadrado da Soma

x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = x² + y² - 8y + 16

O x²  e  y² cancelam-se

Para o 1º membro passar todos os termos em "y".    

O restante vai para  o 2ª membro

4y + 8y = - 2x - 1 - 4 + 16

12y = - 2x + 11

Dividir todos os termos por 12

12y / y = - 2/12 x + 11/12

y = - 2/12 x + 11/12

Simplificando

y = - 1/6 x + 11/12

c) Determine o baricentro do triângulo ABC.

Há fórmula direta

$G=( \frac{-1+0-3}{3} ; \frac{-2+4-3}{3} ) = ( -\frac{4}{3} ; -\frac{1}{3} )$

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicar   ( / ) dividir    (  |    |   )   módulo de    

( u.a.) unidade de área