Question

1) Considere os pontos A(−2,1) e B(0,−3). Determine as circunferências que
a) Tem centro A e passa por B.
b) Tem centro B e passa por A.
c) Tem diâmetro AB.

Answer 1

A equação de uma circunferência com centro no ponto (x₀,y₀) e possui raio igual a r é definida por: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r².

a) Como o centro da circunferência é o ponto A = (-2,1), então temos que:

(x + 2)² + (y - 1)² = r².

Além disso, temos que a circunferência passa pelo ponto B = (0,-3), ou seja,

(0 + 2)² + (-3 - 1)² = r²

4 + 16 = r²

r² = 20.

Portanto, a equação da circunferência é (x + 2)² + (y - 1)² = 20.

b) Agora temos que o centro da circunferência é o ponto B = (0,-3), ou seja,

x² + (y + 3)² = r².

Como a circunferência passa pelo ponto A = (-2,1), então:

(-2)² + (1 + 3)² = r²

r² = 4 + 16

r² = 20.

Portanto, a equação da circunferência é: x² + (y + 3)² = 20.

c) O diâmetro da circunferência é AB.

Então o centro da mesma é o ponto médio do segmento AB, ou seja,

$C=(\frac{-2+0}{2},\frac{1-3}{2})$

C = (-1,-1)

Assim, (x + 1)² + (y + 1)² = r².

Substituindo o ponto B, obtemos:

(0 + 1)² + (-3 + 1)² = r²

1 + 4 = r²

r² = 5.

Portanto, (x + 1)² + (y + 1)² = 5.