Question

1. Considere a função f(x) = x² - x + 3. Calcule x de modo que $\frac{f(x)}{f(1)}$ =5.

2. Seja a função f (x) = = x² - 2x + 3k. Sabendo que essa função possui dois zeros reais iguais, determine o valor real de k.

3. Calcule k de modo que a função y - kx² - 2x + 3 admita 2 como zero.

Answer 1

Opa! Tudo bem contigo?


Primeira questão:

$f(x)=x^2-x+3 \\ \\ \\ f(1)=(1)^2-(1)+3 \\f(1)=3 \\\\\\\displaystyle \frac{f(x)}{f(1)}=5 \\ \\ \\ \displaystyle \frac{x^2-x+3}{3}=5 \\ \\ x^2-x+3=3.5 \\ \\ x^2-x+3=15 \\ \\ x^2-x+3-15=0 \\ \\ x^2-x-12=0 \\ \\ \\ \Delta=b^2-4ac \\ \\ \Delta= (-1)^2-4(1)(-12) \\ \\ \Delta=1+48 =49 \\ \\ \\ \displaystye x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{-(-1)\pm \sqrt{49} }{2(1)} = \frac{1\pm7}{2} \\ \\ \\x_1= \frac{1+7}{2} =\frac{8}{2} =4 \\ \\ \\ x_2= \frac{1-7}{2} = \frac{(-6)}{2}=-3$

Portanto, os valores de x satisfeitos são x=-3 e x=4.


Segunda questão:

$f(x)=x^2-2x+3k \\ \\ \\ \Delta=b^2-4ac \\ \\ \Delta=(-2)^2-4(1)(3k) \\ \\ \Delta=4-12k$

Para que essa função tenha dois zeros reais iguais, o delta associado precisa ser nulo. Ou seja,

$\Delta = 0 \\ \\ 4-12k=0 \\ \\ 12k=4 \\ \\ \displaystyle k= \frac{4}{12} =\frac{1}{3}$


Terceira questão:

$y=kx^2-2x+3 \\ \\ \\ y(2)=0 \\ \\ k(2)^2-2(2)+3=0 \\ \\ 4k-4+3=0 \\ \\ 4k-1=0 \\ \\ 4k=1\\ \\ \\ \displaystyle k= \frac{1}{4}$

Espero ter ajudado.

Abração!

Answer 2

Olá!
 
1.

Note que $\dfrac{f(x)}{f(1)}=5\Rightarrow f(x)=5f(1)$  . E que   $f(1)=1^2-1+3=3$  . Logo,  

 $f(x)=5f(1)\Leftrightarrow f(x)=5\cdot 3 \Leftrightarrow f(x)=15$  . Agora sabemos que $f(x)=15$   e
 
que $f(x)=x^2-x+3$  . Igualando as duas informações, segue que

$x^2-x+3=15\Rightarrow x^2-x-12=0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-12)}}{2}\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{49}}{2}\Rightarrow \boxed{x=4\;\;ou\;\;x=-3}$

2.

Foi dito que $f(x)$   tem 2 raízes reais iguais. Isso implica em um discriminante ($\Delta$) nulo. Ou seja,

$\Delta\ = \ 0\Rightarrow (-2)^2-4\cdot 1\cdot 3k\ = \ 0\Rightarrow 4-12k\ = \ 0\Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 12k\ = \ 4\Rightarrow k\ = \ \dfrac{4}{12} \Rightarrow \boxed{k\ = \ \dfrac{1}{3}}$

3.

As raízes da função são aqueles valores de seu domínio que a anulam. Ou seja, temos que ter $y-kx^2-2x+3=0$  , isto é,  $y=kx^2+2x-3 \\ Se \;2\;\'e\;raiz,\;ent\~ao\\ \\y=k(2)^2+2.\cdot 2-3=0 \Rightarrow 4k+1=0\Rightarrow \boxed{k=-\dfrac{1}{4}}$

Bons estudos!