Question

1) Considerando os planos abaixo o ângulo formado entre eles é:
β: 4x - y + 3z + 6 = 0
α: 2x - 5y + z + 5 = 0

Answer 1

Tomando um sistema ortogonal de coordenadas...

Podemos analisar os vetores normais a cada plano e determinar, pelo produto escalar, o ângulo entre eles.

Para um plano qualquer:

$\mathsf{\pi: \ a\cdot x \ + \ b\cdot y \ + \ c \cdot z \ + \ d \ = \ 0 \ \rightarrow \ \vec{n}_{\pi} \ =\ (a,b,c)}$

Logo, temos:

$\mathsf{\beta: \ 4\cdot x \ - \ y \ + \ 3 \cdot z \ + \ 6 \ = \ 0 \ \rightarrow \ \vec{n}_{\beta} \ =\ (4,-1,3)} \\\\\mathsf{\alpha: \ 2\cdot x \ -\ 5\cdot y \ + \ z \ + \ 5 \ = \ 0 \ \rightarrow \ \vec{n}_{\alpha} \ = \ (2,-5,1)}$

As normas dos vetores normais são:

$\mathsf{||\vec{n}_{\beta}|| \ = \ \sqrt{4^2 + \ (-1)^2 \ + \ 3^2} \ = \ \sqrt{26}} \\\\ \mathsf{||\vec{n}_{\alpha}|| \ = \ \sqrt{2^2 + \ (-5)^2 \ + \ 1^2} \ = \ \sqrt{30}}$

Portanto:

$\mathsf{\vec{n}_{\beta} \ \bullet \ \vec{n}_{\alpha} \ = \ ||\vec{n}_{\beta}|| \cdot ||\vec{n}_{\alpha}|| \cdot \cos(\Theta) \ = \ n^x_{\beta} \cdot n^x_{\alpha} \ + \ n^y_{\beta} \cdot n^y_{\alpha} \ + \ n^z_{\beta} \cdot n^z_{\alpha}}$

$\mathsf{\sqrt{26} \cdot \sqrt{30} \cdot \cos(\Theta) \ = \ 4\cdot 2 + \ (-1) \cdot (-5) \ + \ 3 \cdot 1} \\ \\ \mathsf{\cos(\Theta) \ = \ \dfrac{16}{2 \cdot \sqrt{195}}} \\ \\ \mathsf{\Theta \ = \ \arccos\bigg(\dfrac{8}{\sqrt{195}}\bigg)} \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\Theta \ \approx \ 0,96 \ rad \ (55^{\circ})}}}$