Question

1. Como você vê o padrão crescendo? Onde você vê a adição de novos círculos


2. Como seria o 10º caso?


3. Como seria o 100º caso? Quantos círculos haveria no 100º caso?


4. Quantos círculos haveria no caso 0? Como ele seria?


5. Como seria o caso -1? ​

Answer 1

1) o número de círculos aumenta nos retângulos vertical e horizontal.

a equação que explica é:

2*[x*(x+1)] + 3

onde "x" é o "quadrado interno". Como, por exemplo, o caso 3 é 3x3, o "quadrado interno".

é multiplicado por 2 porque há dois retângulos e adiciona 3 porque há 3 circunferências que sempre permanecem.

2) eu imagino que você deseja o número total de círculos, se for o caso: 223. Só usar a fórmula acima.

3) 20203.

4) 3. O "offset" de cada interação aumenta em 4. Exemplo: caso um pro dois foram adicionados 8 círculos, no caso 2 pro 3 foram adicionados 12 e no quarto caso 16 (o último citado precisa ser feito a mão, já que não aparece na figura).

5) Nesse momento a minha ideia de "offset" não encaixa muito bem. Havia 3 círculos, como já supracitado, se reduzir 4 ficaria -1. O mais justificável seria colocar 0.

Answer 2

1) o quadrado interno e os retângulos laterais aumentam,

2) 223 é a quantidade de círculos no caso 10

3) 20203 é a quantidade de círculos no caso 100

4) No caso 0 teríamos 3 círculos na posição:

   o  

o  o

5) O caso -1 seria apenas 1 bolinha.

Padrões matemáticos

A quantidade de bolinhas em cada um dos casos pode ser calculada através da equação $3+4x$

Encontramos esta equação ao observar como o padrão se expande e percebendo que o "quadrado interno" aumenta em cada caso.

Vamos agora analisar quantas bolinhas tem em cada caso:

Caso_1 = 7 bolinhas (ou 3+2x2 bolinhas)

Caso 2 = 7 + 2x4 bolinhas

Caso 3 = 7 + 2x4 + 2x6 bolinhas

A partir daqui podemos descobrir os próximos casos:

Caso 4 = 7 + 2x4 + 2x6 +2x8 bolinhas

Caso 5 = 7 + 2x4 + 2x6 +2x8 +2x10 bolinhas

Repare que o caso 5 pode ser escrito como:

Caso 5 = 3+4x(1 + 2 + 3 +4 + 5) bolinhas.

O valor dentro do parênteses representa uma soma de PA.

Logo, podemos obter o caso geral usando a equação $Soma = \frac{n(n+1)}{2}$

Caso n = $3+4\times(\frac{n(n+1)}{2}$

Usando esta equação podemos calcular os casos 10 e 100 da seguinte forma:

Caso 10 = $3+4\times(\frac{10(11)}{2}=223$

Caso 100 = $3+4\times(\frac{100(101)}{2}=20203$

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