Question

1. As três finalistas de uma competição se encontram no centro de um campo plano e grande. Cada uma das competidoras recebe uma barra de um metro, uma bussola, uma calculadora, uma pá e (em ordens diferentes para cada competidora) os três deslocamento seguintes (a partir do eixo ox positivo no sentido horário): 92,4 m, 32,0º 87,3m, 116,0º 37,8 m, 235,0º Os três deslocamentos levam a um ponto onde as chaves de um Porsche novo foram enterradas. Duas competidoras começam imediatamente a fazer medidas, porém a vencedora foi a que realizou cálculos antes das medidas. O que ela calculou? Ou seja, qual o vetor deslocamento até as chaves (intensidade, direção e sentido)

Answer 1

A vencedora percorreu 98,22 metros no sentido noroeste.

Anexei a figura da questão no final da resolução, para facilitar o entendimento.

Os três vetores em vermelho estão desenhados, eles representam cada um dos três "passos" que eles devem seguir para encontrar as chaves escondidas.

É importante frisar que temos a nossa referência no eixo horizontal em verde na figura. Coloquei também uma rosa dos ventos para auxiliar a visualização.

Os três vetores estão em coordenadas polares:

$d_1 = (92,4, 32^o)\\\\d_2 = (87,3, 116^o)\\\\d_3 = (37,8, 235^o)$

Primeiramente devemos transformar cada vetor em coordenadas cartesianas:

Vetor 1:

$x_1 = 92,4*cos32^o = 78,36m\\\\y_1 = 92,4*sen32^o = 48,97m$

Vetor 2:

$x_2 = 87,3*cos116^o = -38,27m\\\\y_2 = 87,3*sen116^o = 78,47m$

Vetor 3:

$x_3 = 37,8*cos235^o = -21,68m\\\\y_3 = 37,8*sen235^o = -30,96m$

Agora, basta somarmos todas as componentes para que encontremos o vetor deslocamento total D (vetor azul da figura):

$D_x = x_1 + x_2 + x_3 = 78,36 - 38,27 - 21,68 = 18,41m\\\\D_y = y_1 + y_2 + y_3 = 48,97 + 78,47 - 30,96 = 96,48m$

Por fim vamos transformar o resultado em coordenadas polares:

$r = \sqrt{D_x^2 + D_y^2} = \sqrt{18,41^2 + 96,48^2} = \sqrt{338,93 + 9308,39} = 98,22m\\\\\theta = tg^{-1}(D_y/D_x) = tg^{-1}(96,48/18,41) = 79,2^o$

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