Question

1.) Após 28 dias um isótopo radiativo perdeu 93,75% de sua atividade. Qual o valor de sua vida média ?

Answer 1

A atividade esta diretamente relacionada a massa de isótopo.
Assim, se perdeu 93,75% de sua atividade, então perdeu também 93,75% de sua massa (pelo decaimento radioativo)
O que sobrou após os 28 dias então foi de:
100% - 93,75% = 6,25%
Isso está em porcentagem, dividimos por 100 para passar para fração:
6,25/100=0,0625
E esta fração é a razão entre a massa atual e a massa inicial de isótopo (pode ser um valor qualquer, a proporção se mantém)
M/Mo=0,0625

A equação para cálculos envolvendo meia-vida é:
$M= \frac{ M_{0} }{ 2^{ \frac{T}{Tm} } }$

Onde T é o tempo transcorrido, Tm é o tempo de meia vida e Mo é a massa inicial.
Rearranjando esta equação obtemos:
$\frac{M}{ M_{0} } = \frac{ 1 }{ 2^{ \frac{T}{Tm} } }$

E sabemos que M/Mo = 0,0625
$0,0625 = \frac{ 1 }{ 2^{ \frac{T}{Tm} } }$
Manipulando a equação novamente, teremos:
$2^{ \frac{T}{Tm} } = \frac{1}{0,0625}$
Sendo que 1/0,0625 = 16
E 16 é igual a 2 elevado na 4.
Então:
$2^{ \frac{T}{Tm} } = 2^{4}$
Como são bases iguais, trabalhamos com os expoentes:
T/Tm = 4
Tm=T/4
Temos que T=28dias
Então:
Tm=28/4=7dias, esse é o tempo de meia vida do isotopo.
O que é pedido é a vida média do isótopo.
Ela é calculada por:
Vm=Tm/ln2

Logo:
Vm=7/0,693≈10dias

Espero ter ajudado =)