1) Analise os itens abaixo:
I) O valor da expressão é 4/9.
II) O conjunto solução da inequação log2 (4 – x) < log2 3 é S = {x Ԑ IR/ 1 < x < 4}.
III) o conjunto solução da equação logx (10 + 3x) = 2, em lR é S = {5}.
Podemos afirmar que:
Escolha uma:
a. Somente o item II é verdadeiro.
b. Somente os itens I e II são verdadeiros.
c. Somente os itens II e III são verdadeiros.
d. Todos os itens são verdadeiros
Soluções para a tarefa
Boa noite,
I )
Nota ;
Quando colocar algo como { 2 } estou a
me referir à base 2 de um logaritmo;
Posso colocar outra base qualquer, mas sempre
entre { }
log { 3 } 1 = x
⇔
1 = 3 ^ x
⇔
3 ^ 0 = 3 ^ x
⇔ x = 0
++++++++++++++
log { 10 } ( 0,01 ) = x
⇔
0,01 = 10 ^ x
⇔
1 / 100 = 10 ^ x
[ nota : 1 / 100 = 1 / (10
) ² = ( 10 / 1 ) ^ ( - 2 ) = 10 ^( -
2 )
Quando se tem uma potência no
denominador de uma fração , essa potência pode passar para o numerador mas
trocando o sinal do expoente ]
continuando
1/100 = 10 ^ x
⇔
10 ^( - 2 ) = 10 ^x
⇔
x = - 2
Porque tenho potências com a mesma base, para
serem iguais têm que ter o mesmo expoente.
É com este raciocínio que se resolvem muitos
exercícios com logaritmos.
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log { 2 } ( 1 / 64 ) = x
⇔
1 / 64 = 2 ^x
⇔
1 / ( 2 ^ 6 ) = 2 ^ x
⇔ 2
^ ( - 6 ) = 2 ^ x
⇔
x = - 6
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log { 4 } √8 = x
Nota : quando temos √8,
em que é oito está elevado a um, pode-se
escrever esta √8^1 na forma de potência
com base 8 e expoente
fracionário.
Nessa fração o numerador será o expoente do 8
e o denominador será o índice da raiz.
repare noutros exemplos :
∛ ( 7 ) ² = 7
^( 2 / 3 )
ou ∛ (5 ^ 11)
= 5 ^ ( 11 / 3 )
A regra para essa fração será sempre:
" no numerador o expoente, no
denominador o índice da raiz "
Continuando
⇔
√8 = 4 ^ x
⇔
8 ^( 1 / 2) = 4 ^ x
transformar 8 e 4 em potências de base 2
⇔ (
2 ³ ) ^ 1/2 = ( 2 ² ) ^x
pela regra de potência de potência, deixa-se
ficar a base e multiplicam-se os expoentes
⇔ 2
^ ( 3 * ( 1 / 2) ) = 2 ^ ( 2 * x )
⇔ 2 ^(
3 / 2 ) = 2^( 2 x )
⇔ 3
/ 2 = 2 x
dividindo por 2 ambos os membros
⇔ x = 3 / 4
resumindo
log { 3 } 1 = 0
---------------------------- log { 10 } ( 0,01 )
= - 2
log { 2 } ( 1 / 64 ) = - 6 --------------------
log { 4 } √8 = 3 / 4
A expressão inicial vai ficar:
( 0 - 2 ) / ( - 6 * 3 / 4 )
⇔
( - 2 ) / ( - 18 / 4 )
⇔ ( -2
/ 1 ) / ( - 18 / 4 )
Para se dividirem frações mantém-se a primeira,
a divisão passa multiplicação e inverte-se a segunda fração
⇔ (
- 2 / 1 ) * ( - 4 / 18 )
⇔ + 8
/ 18
⇔ 4 /
9
O valor da expressão é 4 / 9
++++++++++++++++++
++++++++++++++++++
II )
log { 2 } (4 – x ) < log { 2 } 3
Vamos analisar o problema como se em vez de inequação tivéssemos
uma
equação, e depois veremos as alternativas possíveis para o enunciado na
forma de inequação.
log {2 } (4 – x ) = log {2 } 3
como estamos com logaritmos da mesma base vamos igualar os logaritmizados
4 - x = 3
⇔ x =
1
Então a solução para a inequação seria uma de três escolhas
1ª escolha x < 1
Se substituirmos " x " por zero viria
log { 2 } (4 – 0 ) < log
{ 2 } 3
⇔ log
{ 2 } 4 < log { 2 } 3
cálculos :
log { 2 } 4 = x
( este x é um valor genérico, não tem nada a ver
com o " x " de ( 4 - x ) )
continuando
log { 2 } 4 = x
⇔ 4 =
2 ^ x
⇔
2 ^ 2 = 2 ^ x
⇔ x =
2
Então 2 < log { 2 } 3
mas log { 2 } 3
≈ 1,585
assim 2 < 1,585 é Falso a minha 1ª escolha não serve
2ª escolha x > 1 ou seja x ∈ ) 1 , + ∞ (
se assim for quando, por exemplo, x = 24 , viria
log { 2 } (4 – 24 ) < log {2
} 3
⇔ log
{2 } ( - 20 ) < log {2 } 3
o que é impossível pois não há logaritmos de números negativos
A minha segunda escolha também não serve
Portanto x >1 mas até onde?
3ª escolha
Assim resta a solução em que 1 <
x < 4, pois assim os valores da expressão ( x - 4 ) virão
sempre inferiores a 3., e nunca iguais a zero,
porque não há logaritmos de zero
A solução será
S = { x Ԑ IR / 1
< x < 4 }.
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III)
log { x } ( 10 + 3 x ) = 2
⇔ 10 +
3 x = x ²
⇔ x ² - 3 x - 10 = 0
⇔ x = 5
V x = - 2
Mas como " x " é a base do
logaritmo os valores da base não podem ser
negativos nem iguais a 1.
Solução - 2 é rejeitada
log { x } ( 10 + 3 x ) = 2
Tem como solução apenas x = 5
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Resposta : d ) Todos os itens são verdadeiros
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NOTA : sinal ( * ) é multiplicação ; sinal ( / ) é divisão ; ( ^) sinal de potência
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Espero ter ajudado.
Procuro explicar como se faz e não apenas apresentar rápidas soluções.
Sei que ganho menos pontos, mas pretendo ensinar devidamente o que sei.
Esforçando-me por entregar a Melhor Resposta possível.
Qualquer dúvida, envie-me comentário.
Bom estudo