Question

1 + ai Considere o número complexo z = , onde a é um a — i número real e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = —1. O valor de z2016 é igual a a) a2016 b) 1. c) 1 + 2016i. d) i .

Answer 1

Primeiramente, vamos descobrir o valor de z em função do número imaginário i. Podemos fazer isto, multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado de a - i.
$z = \dfrac{1+ai}{a-i} \cdot \dfrac{a+i}{a+i} \\ \\ z = \dfrac{(1+ai)(a+i)}{(a-i)(a+i)}$

No denominador, temos um produto notável, portanto:
$z = \dfrac{(1+ai)(a+i)}{(a-i)(a+i)} = \dfrac{a+i+a^2i+ai^2}{a^2-i^2}$

Como i² = -1:
$z = \dfrac{a+i+a^2i+ai^2}{a^2-i^2} = \dfrac{a+i+a^2i+a(-1)}{a^2-(-1)} \\ \\ z = \dfrac{(a^2+1)i}{a^2+1} \\ \\ z = i$

Pela propriedade do número complexo, temos que:
$i^0 = 1 \\ i^1 = i \\ i^2 = -1 \\ i^3 = -i \\ i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Portanto, a cada 4 expoentes, estes valores se repetem. Como 2016 é múltiplo de 4, temos que:
$z^{2016} = i^{2016} = i^0 = 1$

Resposta: letra B

Answer 2

Resposta:

i (Letra D)

Explicação passo-a-passo:

Realização na foto