Question

1) A soma dos seis primeiros termos consecutivos de uma PA é 12, e o último é 7. Determine os termos da PA.
2) quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão seja 8? (Muchas gracias!).

Answer 1

1)  Primeiro vamos descobrir o 1° termo. Depois descobriremos a razão, e assim interpolamos os termos:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n).n}{2} \\\\n=6\\S_n=12\\ a_n=7\\ a_1=?\\\\ 12= \dfrac{(a_1+7).6}{2}\to~~~~ multiplique~~cruzado:\\\\ 24=(a_1+7).6\to~~ 24=6a_1+42\to~~24-42=6a_1\to\\\\-18=6a_1\to~~ - \dfrac{18}{6} =a_1\to~~\boxed{a_1=-3}$


$a_n=a_1+(n-1).r\to~~ 7=-3+(6-1).r\to~~ 7=-3+5r\to\\\\ 7+3=5r\to~~10=5r\to~~ \dfrac{10}{5} =r\to~~ \boxed{r=2}$

Agora, a partir da razão você descobre os termos, soma o 1° termo a razão afim de encontrar o 2°, a esse 2° soma a razão afim de encontrar o 3° e assim sucessivamente.

PA { -3 ; - 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 }





2) Aqui é só descobrir a quantidade termos n:

$a_n=a_1+(n-1).r\\\\ a_1=2\\a_n=66\\r=8\\n=?\\\\\\ 66=2+(n-1).8\to~~ 66=2+8n-8\to~~66-2+8=8n\to\\ \\ 72=8n\to~~ \dfrac{72}{8} =n\to~~\boxed{n=9~~termos}$

PA { 2 ; 10 ; 18 ; 26 ; 34 ; 42 ;  50 ; 58 ; 66 }

Answer 2

Com os valores calculamos o valor de ( a1 )

$1 = ( Sn . 2 / n ) - an \\ \\ a1 = ( 12 . 2 / 6 ) - 7 \\ \\ a1 = ( 24 / 6 ) - 7 \\ \\ a1 = 4 - 7 \\ \\ a1 = -3$

Razão da PA ( r )

$an = ak + ( n - k ).r \\ \\ -3 = 7 + ( 1 - 6 ) . r \\ \\ -3 = 7 - 5.r \\ \\ -3 - 7 = -5. r \\ \\ \frac{-10}{-5} = r \\ \\ r = 2$

Razão = 2

PA ( -3; -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 7 )

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2) 

r = 8
a1 = 2 
an = 66

$an = a1 + ( n -1) . r \\ \\ 66 = 2 + ( n -1) . 8 \\ \\ 66 = 2 + 8n - 8 \\ \\ 66 = -6 + 8n \\ \\ 72 = 8n \\ \\ n = 9$[

PA com 9 termos, então temos 7 termos interpolados entre 2 e 66

PA (2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 58, 66)