Question

1) A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é 900º, e um ângulo interno desse heptágono mede 123º e outro 77º. Os outros cinco ângulos internos desse heptágono estão ordenados em sequência, do menor para o maior, de maneira que a diferença entre dois ângulos consecutivos quaisquer nessa sequência seja 22º. O menor ângulo interno desse heptágono é.

a)33º
b)44º
c)45º
d)66º
e)77º

Answer 1

Temos um Heptágono que é uma figura de 7 lados. A soma de todos os lados é igual a 900º. O exercício já nos forneceu dois dos seus lados medindo 123º e 77º. Fazendo a subtração pelo total, temos:

900º - (123º + 77º) → 900º - 200º → 700º

A soma (Sx) dos outros 5 ângulos é igual a 700º.

Sx = 700º

Os próximos ângulos estarão em Progressão Aritmética, e a diferença (razão) entre eles é uma constante de 22º. Temos o número de termos (5 termos) e a razão (22º) desta progressão aritmética:

n = 5

r = 22º

PA {a₁, a₁ + r, a₁ + 2r, a₁ + 3r, a₁ + 4r}

Substituindo a razão em cada termo:

PA {a₁, a₁ + 22, a₁ + 2×22, a₁ + 3×22, a₁ + 4×22}

⇒ PA {a₁, a₁ + 22, a₁ + 44, a₁ + 66, a₁ + 88}

→ Soma dos Termos da PA:

Sx = (a₁ + aₓ)×x/2

700 = (a₁ + a₅)×5/2 (multiplicando cruzado)

700×2/5 = a₁ + a₅

a₁ + a₅ = 280

a₅ = 280 - a₁ (I)

→ Termo Geral da PA:

aₓ = a₁ + (x - 1)×r

a₅ = a₁ + (5 - 1)×22

a₅ = a₁ + (4)×22

a₅ = a₁ + 88 (II)

Temos duas equações e duas incógnitas:

→ (I) a₅ = 280 - a₁

→ (II) a₅ = a₁ + 88

O valor de a₅ é igual nas duas equações, portanto:

a₅ = a₅

a₁ + 88 = 280 - a₁

a₁ + a₁ = 280 - 88

2a₁ = 192

a₁ = 192/2

a₁ = 96º

⇒ PA {a₁, a₁ + 22, a₁ + 44, a₁ + 66, a₁ + 88}

PA {96, 96 + 22, 96 + 44, 96 + 66, 96 + 88}

PA {96, 118, 140, 162, 184}

As medidas dos 7 ângulos do Heptágono são:

77º, 96º, 118º, 123º, 140º, 162º, 184º

O menor ângulo do Heptágono é o 77º (alternativa e)

Leia mais em:

Exercício de Fixação PA (https://brainly.com.br/tarefa/17410822)

Conceito PA (https://brainly.com.br/tarefa/1368084)

Exercício PA (https://brainly.com.br/tarefa/275099)

Bons estudos!