Question

1) A semirreta OC é exterior ao ângulo AÔB de bissetriz OX. Se AÔC = 32° e BÔC = 108º, determine CÔX:

a)70º
b)64º
c)54º
d)66º
e)82º

2) Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são colineares.

Answer 1

1- Dá pra resolver essa questão apenas mentalmente. Imagine o ângulo $A\hat OC$. Como a medida de $A\hat OB$ é maior que $A\hat OC$ temos que a semirreta OB estará "do outro lado" da semirreta OA; caso não tenha ficado claro olha a figura. Perceba que $C\hat OX=\alpha+32\°$ e que $A\hat OB=2\alpha+32\°$, daí:

$2\alpha+32\°=108\°\Rightarrow 2\alpha=76\°\\ \\ \alpha=38\°\\ \\ C\hat OX=38\°+32\° \Rightarrow \boxed{\boxed{C\hat OX=70\°}}$

R: a) 70°

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2- Duas semirretas são colineares quando o ângulo entre elas mede 180°. Olhe a figura. As duas retas que determinam ângulos OPV são as retas AC e BD. OR é bissetriz de AÔB e OS é bissetriz de CÔD.
Como AC é uma reta temos que $\alpha+\alpha+\beta+\beta=2\alpha+2\beta=180\°$. Agora olhe para o ângulo RÔS. Perceba que sua medida é $2\alpha+2\beta$, que vale 180°, logo OR e OS são colineares.