Question

1) A função P = 60.(1,04)t representa a estimativa do Produto Interno Bruto em bilhões de dólares (PIB) de um país no ano t adotando-se a seguinte convenção:

t = 0 representa o ano de 2013;
t = 1 representa o ano de 2014;
t = 2 representa o ano de 2015;

e assim por diante. Use a calculadora e responda:

a) Qual é a estimativa do PIB em 2020
b) Em que ano o PIB será o dobro do que era em 2013?
c) E o triplo?

2) Suponha que o número de peças produzidas por uma indústria aumente mensalmente de acordo com a função N(t) = 200. Nessa função, t é o número de meses contados a partir de um certo período e N é o número de peças produzidas.

a) Quantas peças serão produzidas no segundo mês?
b) Quantos meses serão necessários para que a produção obtida seja o dobro da produção do segundo mês?

Answer 1

1 

a)  Seguindo o enunciado em 2020 t=7 
 t=0  -> 2013
t=1 -> 2014
t=2 -> 2015
t=3 -> 2016
t=4 -> 2017
t=5 ->2018
t=6 -> 2019
t=7 -> 2020

Vamos apenas substituir 7 no lugar de t:

$P=60(1,04)^t \\ \\ P=60(1,04)^7 \\ \\ P=60.(1,315931779) \\ \\ P=78,95$

A estimativa em 2020 é de 78,95 bilhões de dólares. 
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b)
Calculando o PIB em 2013 :

$P=60(1,04)^t \\ \\ P=60(1,04)^0 \\ \\ P=60.(1) \\ \\ P=60$

Se o PIB em 2013 é de 60 bilhões . Vamos calcular em que ano dará o dobro, ou seja 120 bilhões. 

É só substituir no 120 lugar de P :

$P= 60(1,04)^t \\ \\ 120=60(1,04)^t \\ \\ (1,04)^t= \frac{120}{60} \\ \\ (1,04)^t=2 \\ \\ t=Log_{1,04} \ 2 \\ \\ t=\frac{Log 2}{Log 1,04} = \frac{0,3}{0,017}=17,6$

Logo quando t for maior um pouco que 17. Nesse caso colocando t=18 em anos dará 2031. 

c)
O triplo de 60 é 3*60= 180 bilhões. Substituindo novamente na equação:

 $P= 60(1,04)^t \\ \\ 180=60(1,04)^t \\ \\ (1,04)^t= \frac{180}{60} \\ \\ (1,04)^t=2 \\ \\ t=Log_{1,04} \ 3 \\ \\ t=\frac{Log 3}{Log 1,04} = \frac{0,47}{0,017}=28,065$

T tem que ser maior que 28 para atingir o triplo. Logo quando t=29 temos o ano de 2042

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2
a)
$N(t)=200.Log_3 (1+t) \\ \\ N(t)=200.Log_3(1+2) \\ \\ N(t)=200.Log_3 3 \\ \\ N(t)=200.1 \\ \\ N(t)=200$

No segundo mês são produzidas 200 unidades

b)
O dobro de 200 é 2*200= 400

Substituindo temos:

$N(t)=200.Log3(1+t) \\ \\ 400=200.Log3(1+t) \\ \\ Log3(1+t)= \frac{400}{200} \\ \\ Log3(1+t)= 2 \\ \\ \frac{Log(1+t)}{Log(3)}=2 \\ \\ Log(1+t)=2Log(3) \\ \\ Log(1+t)=Log(3^2) \\ \\ e^{Log(1+t)}=e^{Log(3^2)} \\ \\ 1+t=9 \\ \\ t=9-1 \\ \\ t=8$

São necessários 8 meses para que a produção atinja o dobro. 

É isso aí . Espero que goste. Comenta depois :)