Question

1) A equação x² − kx + 36 = 0 na variável x, em que k é um número real, tem duas soluções reais e distintas, então: *
a) k > 12.
b) k < 12.
c) −12 < k < 12.
d) k < −12.
e) k < −12 ou k > 12.

Answer 1

Se essa equação tem duas soluções reais e distintas, então k < – 12 ou k > 12,  correspondendo à alternativa e).

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Desejamos encontrar o valor de k sabendo que a equação quadrática dada, x² – kx + 36 = 0, admite duas raízes reais e diferentes. Para solucionar esse problema, é necessário saber que o valor do discriminante (ou delta) define as principais caraterísticas das raízes de uma equação do 2º grau, tais como: se elas são reais, se não são reais, se são iguais, ou se são diferentes. Assim, considerando x₁ e x₂ raízes de um equação, temos que:

   $\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\bullet~~Se~\Delta > 0,~x_1~e~x_2\in\mathbb{R}~|~x_1\neq x_2\\\\\bullet~~Se~\Delta=0,~x_1~e~x_2\in\mathbb{R}~|~x_1=x_2\\\\\bullet~~Se~\Delta < 0,~x_1~e~x_2\notin\mathbb{R}\end{array}}$

Ou seja, se delta for positivo as raízes serão reais e distintas; se delta for nulo as raízes serão reais e iguais; ou se delta for negativo as raízes não serão reais. Dessa forma, afirmando que a equação x² – kx + 36 = 0, de coeficientes a = 1, b = – k, e c = 36, tem duas soluções reais e distintas, então seu delta deve ser positivo (lembrando que Δ = b² – 4ac):

$\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\Delta > 0\\\\b^2-4ac > 0\\\\(-\,k)^2-4\cdot(1)\cdot(36) > 0\\\\k^2-144 > 0\\\\k^2 > 144\\\\\sqrt{k^2} > \sqrt{144}\\\\|k| > 12\\\\k < -\,12~~\vee~~ k > 12\end{array}}$

Portanto, k é um número menor que – 12, ou maior que 12. Assim a alternativa e) responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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